第11讲 等边三角形及含30°角的直角三角形 人教版七年级升八年级数学暑假预习讲义

第11讲 等边三角形及含30°角的直角三角形 【教学目标】： 1. 等边三角形的性质定理和判定定理，能够熟练运用定理解题。 2. 掌握一个角是30°的直角三角形的性质的运用。 【教学重难点】： 综合题型的运用。 【考点解析】 考点一 等边三角形 1. 等边三角形的定义：三边 的三角形叫做等边三角形 2. 等边三角形的性质：等边三角形的的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 3. 等边三角形的判定 1 三条边相等的三角形是等边三角形。 2 三个角都相等的三角形是等边三角形。 3 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【例1】 如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE，求证：AE∥BC。 【例2】 如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE=DB，求证：CD=CE。 【例3】 如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF。求证：△DEF是等边三角形。 【例4】 如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，E，F分别是边AD，CD上的点，且DE=CF，连接BE，EF，FB。求证： （1） △BDE≌△BCF； （2） △BEF是等边三角形。 【例5】 如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE�都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由． 针对练习1 1. 如图，已知等边三角形ABC的周长是2a，BM是AC边上的高，N为BC延长线上的一点，且CN=CM，则BN的长为________。 2. 如图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理。 3. 如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线。求证：BE=BD。 4. 如图，在等边△ABC中，在边BC，AC上取BD=CE，连接AD，BE交于点F。求证： （1） △ABD≌△BCE； （2） ∠AFE=60° 5. 如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F，连接EF。求证： （1） AN=BM； （2） △CEF为等边三角形。 考点二 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 【例1】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AM的长为15cm，求BC的长。 【例2】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N，且∠B=15°，AC=4cm，求BN的长。 【例3】 如图，D、E分别为等边△ABC的边AC、BC上的点，且AD=CE，BD、AE交于点N，BM⊥AE于M。①求证：∠CAE=∠ABD；②求证：MN=BN。 针对练习2 1. 如图，AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∠BAC=120°，BC=6，则DE+DF=______. 2. 如图，△ABC中，∠C=45°，∠ABC=120°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AC于E，AB的垂直平分线FH交AB于F，交AC于H，若CE=4，AH的长为______。 3. 如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1，求BC的长。 4. 如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F，求证：CF=2BF 【综合练习】 1. 如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD=1，∠B=30°，则BD的长是（ ） A．1 B．2 C. D. 2. 如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ） A．AC=BD B．CD平分∠BCE C．AD=2AB D．AD垂直平分BC 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上，如果AD=BD=BC，那么∠A的大小是（ ） A．42° B．40° C．36° D．30° 4. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，D为BC上一点，CD=AD=2，则BC的长为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 5. 如图，△ABC是等边三角形，B