2.5 《一元二次方程的根与系数的关系》教案 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 一、教学目标 1．了解一元二次方程根与系数的关系． 2．利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题． 二、教学重点及难点 重点：根与系数的关系及其运用． 难点：根与系数的关系的发现及其运用． 三、教学用具 多媒体课件。 四、相关资源 《根与系数关系》动画、《一元二次方程根与系数关系的应用》微课. 五、教学过程 【复习引入】 我们前面学过了用公式法解一元二次方程，请同学们回忆一下一元二次方程的求根公式是什么？ 师生活动：教师出示问题，学生思考并回答问题． 答：一元二次方程的求根公式是(b2-4ac≥0)． 由求根公式我们很容易发现一元二次方程的根完全由它的系数a，b，c确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？今天我们就一起来探究吧！ 插入【数学探究】根与系数关系. 教师活动：教师播放动画，引入课题． 学生活动：学生倾听、思考，初步了解本节课所要研究的问题． 设计意图：创设问题情境，激发学生的好奇心和求知欲． 【探究新知】 做一做 解下列方程： （1）x2-2x+1=0；（2）；（3）2x2-3x+1=0． 每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？ 对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？你能证明你的猜想吗？ 师生活动：教师出示问题，学生先解方程，然后猜想，最后验证猜想． 解：（1）原方程可化为(x-1)2=0．解得x1=x2=1．∴x1+x2=2，x1x2=1． （2）由原方程可得a=1，b=，c=-1．∴b2-4ac=-4×1×(-1)=12+4=16． ∴．∴，． ∴，． （3）方程两边同除以2，得． 配方，得，即． ∴．∴x1=1，x2=．∴，． 每个方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．猜想：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立． 证明：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当b2-4ac≥0时有两根： ，． ∴两根之和x1+x2=； 两根之积 x1·x2=． 结论：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=． 设计意图：让学生经历观察、猜想、验证的过程，从特殊到一般，得出两根之和与系数之间的关系、两根之积与系数之间的关系． 【典例精析】 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0． 师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析，师生共同完成本题． 教师分析：本例题的解答应分为两步：首先判断方程的根的情况，然后再根据一元二次方程的根与系数的关系得出两根之和、两根之积． 解：（1）这里a=1，b=7，c=6．Δ=b2-4ac=72-4×1×6=49-24=25＞0， ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根分别是x1，x2，那么x1+x2=-7，x1x2=6． （2）这里a=2，b=-3，c=-2．Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=9+16=25＞0， ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根分别是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=-1． 设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积． 【课堂练习】 1．已知x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a，b的值分别是（ ）． A．a=-3，b=1 B．a=3，b=1 C．，b=-1 D．，b=1 2．已知m，n是方程x2++1=0的两根，则代数式的值为（ ）． A．9 B．±3 C．3 D．5 3．若关于x的一元二次方程x2+(m2-9)x+m-1=0的两个实数根互为相反数，则m的值是__________． 4．设a，b是方程x2+x-2015=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为_________． 5．已知方程x2-5x-6=0的根是x1和x2，求下列式子的值： （1）；（2）． 师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题． 答案 1．D．2．C．3．-3． 4．2014．解析：∵a是方程x2+x-2015=0的实数根，∴a2+a-2015=0， ∴a2= -a+2015．∴a2+2a+b=-a+2015+2a+b=a+b+2015． ∵a，b是方程x2+x-2015=0的两个不相等的实数根，∴a+b=-1， ∴a2+2a+b =a+b+2015=-1+2015=2