4.5 相似三角形判定定理的证明 教案 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

第四章 图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明 一、教学目标 了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力． 二、教学重点及难点 重点：相似三角形判定定理的证明． 难点：合理添加辅助线． 三、教学用具 多媒体课件、直尺或三角板． 四、相关资源 《复习相似三角形判定定理》动画，《相似三角形的判定》微课. 五、教学过程 【复习引入】 我们学过的相似三角形的判定定理有哪些？平行线分线段成比例的基本事实及其推论的内容是什么？ 师生活动：教师出示问题，学生根据学过的内容回答． 答：我们学过的相似三角形的判定定理有：（1）两角分别相等的两个三角形相似；（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边成比例的两个三角形相似． 平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例． 设计意图：通过对相关定理的回顾，为后面的探索奠定良好的基础． 【探究新知】 前面我们探索了三角形相似的条件，本节课我们将对它们进行证明． 1．定理 两角分别相等的两个三角形相似． 师生活动：教师让学生写出已知、求证并引导学生完成证明过程．教师应注意指出此时只能利用定义证明相似，不能使用前面学过的判定三角形相似的判定定理证明． 已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'． 求证：△ABC∽△A'B'C'． 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE=∠B，∠AED=∠C，（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）． 过点D作AC的平行线，交BC于点F，则（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）． ∴．∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形． ∴DE=CF．∴．∴． 而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC． ∵∠A=∠A'，∠ADE=∠B=∠B'，AD=A'B'，∴△ADE≌△A'B'C'． ∴△ABC∽△A'B'C'． 2．定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 师生活动：教师让学生写出已知、求证并引导学生完成证明过程． 已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，． 求证：△ABC∽△A'B'C'． 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠B=∠ADE，∠C=∠AED， ∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）． ∴．∵，AD=A'B'， ∴．∴． ∴AE=A'C'．而∠A=∠A'，∴△ADE≌△A'B'C'． ∴△ABC∽△A'B'C'． 3．定理 三边成比例的两个三角形相似． 师生活动：教师让学生写出已知、求证并引导学生完成证明过程． 已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，． 求证：△ABC∽△A'B'C'． 证明：在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上分别截取AD=A'B'，AE=A'C'，连接DE． ∵，AD=A'B'，AE=A'C'，∴． 而∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． ∴． 又，AD=A'B'， ∴．∴．∴DE=B'C'． ∴△ADE≌△A'B'C'． ∴△ABC∽△A'B'C'． 设计意图：通过学生亲身经历证明过程，让他们发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识，同时让学生学会合理地添加辅助线． 【典例精析】 例 如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端点在CB，CD上滑动，当CM为何值时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似？ 师生活动；教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程． 分析：由于本题未指明两三角形的对应关系，所以要分CM与AE和AD是对应边两种情况进行求解． 解：． 当△AED∽△CMN时，AE∶CM=DE∶NM，即1∶∶1，解得； 当△AED∽△CNM时，AD∶CM=DE∶MN，即2∶∶1，解得． ∴当或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似． 设计意图：让学生明白利用相似三角形的对应边成比例构建方程，是解决线段计算问题的重要途径． 【课堂练习】 1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）． 2．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1，AD的中点E的对应点记为E1．若△E1FA1∽△E1BF，则AD=_________