3.2.1 双曲线及其标准方程 同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 同步练习 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，双曲线的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，焦距为，点在双曲线上，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 4．已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（　　） A．1或21 B．14或36 C．2 D．21 7．已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线 二、多选题 9．已知双曲线E：的左右焦点分别为、，点P在双曲线E上，=10，则为（    ） A． B． C． D． 10．若，，动点满足，当和时，点轨迹（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．一条直线 11．过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 12．已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．若双曲线的一个焦点为，则实数 ． 14．双曲线的虚轴长为 . 15．若方程的图形是双曲线，则实数m的取值范围是 . 16．设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是 四、解答题 17．若方程是双曲线的方程，求实数a的取值范围． 18．如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/km，求修建这两条公路的最低总费用． 19．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过点，交双曲线的左支于A、B两点，且，求的周长． 20．如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为，设动点的轨迹为．求轨迹的方程； 21．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点； (2)经过点和． 22．已知双曲线的离心率等于2，点到直线的距离等于1． (1)求的标准方程； (2)设为在第一象限的一个点，，为的焦点，如果线段，，的长度构成等差数列，求点的坐标． 参考答案 1--8DBACB DCB 9．AD 10．BC 11．AC 12．AB 13．3 14． 15． 16． 17．解：由题意得：，(且) 即，又它表示的曲线是双曲线， 可知， 解得：. 18．如图所示，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直坐标系xOy，则，，．连接AM，AC．因为， 所以点M的轨迹是双曲线的右支． 因为，当M，A，C三点共线时等号成立， 又总费用为万元， 所以，所以修建这两条公路的最低总费用为万元． 19．根据题意双曲线，双曲线图象如图： 由双曲线的定义得：        得：，即 周长为． 故答案为：． 20．设，当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率不存在． 于是且.此时，的斜率为，的斜率为. 由题意，有，化简可得， 故动点的轨迹的方程为（） 21．（1）易知椭圆短轴的两个端点坐标为； 所以双曲线焦点在轴上， 可设双曲线的标准方程为，且， 点在双曲线上，即，解得； 所以双曲线的标准方程为. （2）设双曲线方程为， 将两点代入可得，解得； 所以双曲线的标准方程为. 22．（1）因为点到直线的距离等于1，所以，解得. 又，所以，所以，故的标准方程为. （2）设点坐标为，由为在第一象限的一个点,得 且； 又，，构成等差数列，所以. 由得. 又，所以，即，所以， 代入得，所以点坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $