2023-2024学年人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径教学课件

人教版 九年级上册 第二十四章 圆 24.1.2 垂直于弦的直径 人教版九年级上册第二十四章 圆 24.1.2 垂 直 于 弦 的 直 径（1） 情境引入 中国汉代数学典籍《九章算术》勾股章所记载的“圆材埋壁”问题，原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：现有圆柱状的木材，埋在墙壁里。不知道其大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度为一寸的时候，锯开的宽度为一尺，问木材的直径是多少？（一尺等于十寸） 用数学语言可表述为：“如图，在⊙O中，弦CD=10寸，弓形高AB=1寸，求直径的长。” · O C D B A O 实践发现 探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？ 猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 你能证明上述结论吗？ · · O D C 尝试证明 分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上. 证明：过圆心作圆的任意一条直径CD，在⊙O上任意 取一点A（不同于C 、D ），过点A作AE⊥CD 于 E， 并延长到点B，使得EA=EB. 连接OA ,OB. ∵O在AB的垂直平分线上， ∴OA=OB. 即B点在⊙O上. ∴⊙O关于CD所在直线对称. A E B 归纳结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 思考：（1）如图,若A,B点是⊙O上任意两点，即AB是⊙O的一条弦, 请你画出弦AB的一条对称轴.CD所在直线与弦AB有怎样的位置关系？ 尝试：作直径CD⊥AB于E点.请你证明CD所在直线是弦AB的对称轴. 分析：只需证CD平分AB即可. 思考：（2）你能说明 吗？ · O A B D E C 深入探究 公元前三世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中运用AAS证明垂径定理的前半部分. 1794年法国数学家勒让德在《几何基础》中用HL和垂直平分线的性质证明了垂径定理. O A B D E C 归纳结论 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 几 何 语 言 可推得 · ① CD是直径 ② CD⊥AB 由 下列图形是否具备垂径定理的条件？ O E D C A B 深入理解 × √ √ × 垂径定理的几个基本图形： 8 1.如图（1），在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。 定理应用 A B · O E 图（1） 2.如图（2），AB是⊙O中的弦，半径长为20cm，∠AOB=120°,求△AOB的面积. 图（2） O · A B E ∵OA=OB ∴∠AOE=60° 在Rt△OAE中，∠OAE=30° ∴OE=OA=10cm 根据勾股定理： AE2=OA2－OE2 ∴AE=10 ∴AB= =AB×OE= 几 何 语 言 可推得 ① CD过圆心 ② CD⊥AB 由 解决问题 解：设OC=r,则OA=r-1,CA=CD=5 在Rt△OAC，OC2=AC2+OA2 即 解得r=13 所以木材的直径为26寸. 中国汉代数学典籍《九章算术》勾股章所记载的“圆材埋壁”问题，原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：现有圆柱状的木材，埋在墙壁里。不知道大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度为一寸的时候，锯开的宽度为一尺，问木材的直径是多少？（一尺等于十寸） 用数学语言可表述为：“如图，在⊙O中，弦CD=10寸，弓形高AB=1寸，求直径的长。” · O C D B A 答曰：材径二尺六寸。 术曰：半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径。 问题:赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶. 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 解决问题 A B O C D 7.2m 37m 11 归纳小结 A B O C