22.3 实际问题与二次函数（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年九年级数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教版）

22.3实际问题与二次函数（重难点） 【知识点一、 列二次函数解应用题】 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： （1）审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． （2）设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． （3）列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． （4）按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题. （5）检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． （6）写出答案． 【知识点二、建立二次函数模型求解实际问题】 一般步骤：（1）恰当地建立直角坐标系； （2）将已知条件转化为点的坐标； （3）合理地设出所求函数关系式； （4）代入已知条件或点的坐标，求出关系式； （5）利用关系式求解问题． 【知识点三、利用二次函数求图形面积的最值问题】 一些几何图形的面积与其相关边长成二次函数关系时，可以用二次函数的最值求其最大面积。 求矩形的最大面积时，通常用含有自变量x的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造关于x的二次函数，再结合二次函数的图象和性质，利用公式法或配方法求出二次函数的最大值，同时要注意自变量的取值范围。 【知识点四、利用二次函数求最大利润问题】 1.利润问题是本节的重点问题之一，在日常生活中经常出现，是考试热点。对于这类问题，只要审清题意，记住利润问题中的几个公式，便可解决此类问题。 ①每件的利润=销售单价-成本单价； ②总利润=总销售价-总成本价=每件利润×销售量。 2. 利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤： ①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入； ②用含自变量的代数式表示销售商品的成本； ③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式； ④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。 【知识点五、利用二次函数解决抛物线型问题】 这类问题所给的问题情境常有一个抛物线型物体，比如拱桥或隧道这些问题都可以通过构造二次承数的表达式来解决，解决这类问题般是利用数形结合思想和函数思想。 1．一般解题思路 （1）在示意图中建立适当的平面直角坐标系，将题目中所给条件转化平面直角坐标系中的坐标。 （2）根据图中坐标利用待定系数法求得二次函数的表达式。 （3）由二次函数的性质去分析解决问题，检验问题的结果是否符合实标意义，并作答。 2．卡车过拱桥(隧道)问题 在问题中，抛物线的函数表达式是首要条件，有时函数表达式已经给出，有时需要先求出来，求出函数表达式后有两种方法可以判断卡车能否从桥下通过： （1）固定卡车的宽，看桥是否足够高（即相当于已知x的值，根据函数表达式求y的值，然后与限制的高的值比较大小）； （2）固定卡车的高，看桥是否足够宽（即相当于已知y的值，根据函数表达式求x的值，然后与限制的宽的值比较大小） 题型一 增长率问题 例1．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是 （    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，年市政府已投资亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计年投资额达到亿元人民币，设每年投资的增长率为，则可得（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】．．小红把班级勤工助学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A．y=500(x+1)2 B．y=x2+500 C．y=x2+500x D．y=x2+5x 题型二 动态几何+函数图像 例2．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝6cm，AD＝4cm．点E沿A→B移动，同时点F沿A→D移动，且速度都为1cm/秒，设点E，F移动的时间为xs（其中0≤x≤4），△BEF的面积为ycm2，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】．如图，在正方形ABCD中，AB＝