专题2.17 二次根式（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.17 二次根式（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】二次根式相关概念与性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如、、等式子，都叫做二次根式. 要点说明：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 要点说明： （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如 （）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 要点说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 【知识点2】二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 要点说明： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点说明： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 【考点一】二次根式的概念和性质 ①二次根式相关概念➽➼二次根式及取值范围 【例1】使代数式有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件列不等式组解答即可． 解：∵代数式有意义， ∴，解得：且， 故选C． 【点拨】本题考查了分式有意义的条件，掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】化简﹣（）2得（    ） A．2 B．﹣4x+4 C．x D．5x﹣2 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质求解可得答案. 解：1-3x≥0,x≤,2x-1≤＜0, 原式=-(1-3x)=1-2x-1+3x=x, 故选C. 【点拨】主要考查了根据二次根式的意义及化简.二次根式规律总结:当a＞0时, =a;当a<0时, =-a.二次根式=a,(a≥0). 【变式2】下列说法正确的是（　　） A. 是最简二次根式 B．与是同类二次根式 C． D．的化简结果是 【答案】B 【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的定义以及二次根式的性质和化简逐项分析判断即可． 解：A.不是最简二次根式，原说法错误； B.，与是同类二次根式，原说法正确； C.在，的情况下，原说法错误； D.的化简结果是2，原说法错误； 故选：B． 【点拨】本题考查了最简二次根式、同类二次根式的定义以及二次根式的性质和化简，熟练掌握基础知识是解题的关键． ②二次根式相关概念➽➼复合二次根式的化简 【例2】如果，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把b分母有理化，再比较． 解：∵，， ∴． 故选：A． 【点拨】此题考查分母有理化，正确计算是解题关键． 【举一反三】 【变式1】比较大小错误的是（    ） A．＜ B．＋2＜﹣1 C．＞﹣6 D．|1－|＞－1 【答案】D 【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可． 解：A、由于5<7，则＜，故正确； B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确； C、由于，则，故正确； D、由于，故错误． 故选：D 【点拨】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键． 【变式2】已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可． 解：由得， 有意义，且， 方程没有实数根，即， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围． ③二次根式相关概念➽➼最简二次根式★★同类二次根式 【例3】阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们