专题09 二次函数的最值问题专训【七大题型】-2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题09 二次函数的最值问题专训【七大题型】 【题型目录】 题型一 二次函数的定轴定区间求最值问题 题型二 二次函数的动轴定区间求最值问题 题型三 二次函数的定轴动区间求最值问题 题型四 二次函数的面积与最值问题 题型五 二次函数的两个图形面积最值问题 题型六 二次函数的线段最值问题 题型七 二次函数的最值综合问题 【经典例题一 二次函数的定轴定区间求最值问题】 【知识点1 定轴定区间】 对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）： （1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值． （2）若，如图②，当，；当，． （3）若，如图③，当，；当，． （4）若，，如图④，当，；当，． 【例1】（2023·浙江·一模）已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数的最大值是9． B．当时，函数的最大值是9． C．当时，函数的最小值是． D．当时，函数的最小值是． 【变式训练】 1．（2023春·安徽宿州·九年级统考阶段练习）已知二次函数，关于该函数在范围内，下列说法正确的是（    ） A．有最大值4，有最小值 B．有最大值4，有最小值 C．有最大值3，有最小值 D．有最大值3，有最小值 2．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）已知二次函数，当时，函数y的最大值为 ． 3．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）二次函数的最小值是 ，最大值是 ． 【经典例题二 二次函数的动轴定区间求最值问题】 【知识点2 动轴或动区间】 对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小． 【例2】（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）已知抛物线，若时，抛物线上一点满足：当时，，则m的值是（    ） A．0 B． C．0或 D．0或4 【变式训练】 1．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数，当时，y的最大值为，则a的值为（     ） A．或6 B．0或6 C．或2 D．2或6 2．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考三模）已知二次函数，当时，函数的最大值为，则m的值是 ． 3．（2023·安徽合肥·校考一模）已知二次函数， （1）当时，二次函数的最大值为 ． （2）当时，二次函数的最大值为6，则的值为 ． 【经典例题三 二次函数的定轴动区间求最值问题】 【例3】（2023·浙江温州·校联考三模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法项正确的是（    ） A．若，函数有最大值5 B．若，函数有最小值5 C．若，函数有最小值1 D．若，函数无最大值 【变式训练】 1．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知函数，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（    ） A．1 B．4 C．7 D．10 2．（2023·安徽阜阳·统考二模）已知二次函数的图象经过． （1）该二次函数的对称轴为直线 ． （2）当时，若y的最大值与最小值之差为8，则m的值为 ． 3．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）二次函数，当，y的最小值是，最大值是，则 ． 【经典例题四 二次函数的面积与最值问题】 【例4】（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，点，，，均在函数l图象上，P为该函数在第一象限内图象上一点，轴于点E，当的面积取最大值时，的长为（　　） A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5 【变式训练】 1．（2022秋·江西宜春·九年级校考阶段练习）如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）经过点C（0，3），点P（m，n）从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴向下运动，给出下列说法： ①a=﹣1； ②抛物线的对称轴为x=﹣1； ③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，n=1； ④在点P从点A运动到顶点的过程中，当m=−时，△PAC的面积最大． 其中，所有正确的说法是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④ 2．（2023·广西北海·统考二模）如图，点E，F，G，H分别位于正方形的四条边上，四边形也是正方形，当正方形的面积最小时，的度数是 ．    3．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，已知、为两条定长的线段，，，，点A、C分别为线段，上的点（点C可与点P重合），、，若，则四边形面积的最大值为 ．    【经典例题五 二次函数的两个图形面积最值问题】 【例5】（2023·山东泰安·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点．与轴交于点．      (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线第四象限上的