8.2.1几个函数模型的比较课件-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

8．2.1　几个函数模型的比较 1 8．2　函数与数学模型 新课程标准解读 核心素养 结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数函数”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义 数学抽象、数学建模 我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律． [问题]　你知道指数函数与幂函数哪个函数增长的快吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　几类不同增长的函数模型 1．几类增长函数模型 (1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是 ，其增长速度不变； (2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“ ”； (3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，小于直线上升的速度，即增长速度平缓； (4)幂函数模型：幂函数y＝xn(x>0，n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． 直线上升 指数爆炸 2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的大致图象，如图所示． 从图中可以观察出，当0<x<2时，2x>x2>log2x；当2<x<4时，x2>2x>log2x；当x>4时，2x>x2>log2x.由此我们得到下面的结论：在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上． 当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，且a越大，y＝ax的函数值的增长就越快； 当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，且a越小，y＝loga x的函数值的增长就越快； 当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x>1时，n越大，y＝xn的函数值的增长就越快．　 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型． (　　) (2)函数y＝100x比y＝2x增长的速度更快些． (　　) (3)当a＞1，k＞0时，对∀x∈(0，＋∞)，总有logax＜kx＜ax成立． (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是 (　　) A．y＝ax＋b　　　　 B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝a·ex＋b D．y＝aln x＋b 解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c. 答案：B　 3．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用 (　　) A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 答案：D 几类函数模型增长差异的比较 [例1]　已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表： x 1 2 4 6 8 … y1 2 4 16 64 256 … y2 1 4 16 36 64 … y3 0 1 2 2.585 3 … 则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是 (　　) A．y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2x B．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x C．y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2 [解析]　从题中表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化． [答案]　B 不同增长的函数模型的特点 对于函数模型选择的问题，熟悉各种函数模型的增长特点是关键．线性函数模型的增长是匀速的；指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律；对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律；幂函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间，适合描述不快不慢的变化规律．　 [跟踪训练] 四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时