1.2矩形的性质与判定（第2课时） 教案 2022-2023学年数学北师大版 九年级上册

第一章 特殊的平行四边形 1.2 矩形的性质与判定 第2课时 一、教学目标 1．理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系． 2．经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力． 3．能够用综合法证明矩形的判定定理，以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力． 4．进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想． 二、教学重点及难点 重点：探索矩形的判定方法． 难点：合理应用矩形的判定定理解决问题． 三、教学用具 多媒体课件、直尺或三角板。 四、相关资源 《四边形到平行四边形再到矩形的变化》动画，《矩形的判定》微课. 五、教学过程设计 【复习引入】 1．什么叫做矩形？ 答：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形与平行四边形及四边形有什么从属关系？ 3．矩形有什么特有的性质呢？ 答：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等． 4．你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？ 答：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义判定）． 5．那么除了矩形的定义外，还有没有其他判定矩形的方法呢？这节课我们就共同来探究一下． 师生活动：教师出示问题，学生回答，让学生复习前面学过的内容． 设计意图：通过复习，巩固旧知，铺垫新知，设置问题，引出新课． 【探究新知】 做一做 如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化． （1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？ （2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 师生活动：教师出示“做一做”并操作演示，学生思考、讨论、交流，猜想出矩形的一个判定方法． 答：（1）当∠α增大到90°时，两条对角线的长度相等．当∠α超过90°时，以∠α的顶点为端点的一条对角线逐渐变短，另一条对角线逐渐变长． （2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形的四个角都等于90°． 得到的猜想是：对角线相等的平行四边形是矩形． 思考 你能证明你的猜想吗？ 师生活动：教师出示问题，学生思考，教师引导学生写出已知、求证并完成证明过程． 答：已知：如图，在四边形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB． 求证：□ABCD是矩形． 分析：利用全等三角形证明平行四边形的某两个相邻的角相等，而这两个角又互补，所以它们都是直角，从而得证． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB∥DC． 又∵BC=CB，AC=DB， ∴△ABC≌△DCB． ∴∠ABC=∠DCB． ∵AB∥DC， ∴∠ABC+∠DCB=180°． ∴∠ABC=∠DCB=． ∴□ABCD是矩形（矩形的定义）． 设计意图：培养学生发现规律的能力和逻辑推理能力． 判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形． 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形． 该判定定理的两个适用条件：（1）对角线相等；（2）是平行四边形． 想一想：我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论． 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论、交流，形成猜想并证明猜想． 猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形． 已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵∠A=∠B=90°， ∴∠A+∠B=180°． ∴AD∥BC． ∵∠B+∠C=180°，∴AB∥CD． ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 又∵∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 设计意图：培养学生的归纳猜想，推理论证的能力． 判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形． 几何语言： ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形． 归纳:矩形的判定方法： 方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 方法2：对角线相等的平行四边形是矩形； 方法3：有三个角是直角的四边形是矩形． 议一议 你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流． 师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答． 答：可以用直角尺检查安装的门框的四个角是否为直角．如果有三个角是直角，那么刚安装的门框一定是矩形．也可以用直尺（或皮尺）分别量出门框两组对边的长度，如果两组对边长度分别相等，则门框一定是平行四边形，再测量门框的对角线的长度，如果两条对角线的长度相等，那么刚安装的门框一定是矩形． 如果仅有一根较长的绳子，可以先用绳子分别测量出门框的两组对边的长度，做上记号．如果两组对边的长度分别相等，那么这个门框一定是平行四边形，再