数学02（范围：人教A版2019必修二+选修一空间向量与立体几何、直线与圆的方程）-2023年新高二数学开学摸底考试卷

2023年新高二开学摸底考试卷 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A A B A D C 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．AB 10．ABD 11．BC 12．AC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 14． 15． 16． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 【详解】（1）样本平均值为， 样本方差为，.。。。。。3分 （2）因为改进后随机抽取的10件产品是改进前抽取的10件产品每个提高0.2分， 所以估计改进后生产的产品评分的平均数，方差为，。。。6分 （3）可以认为是一等品，因为改进后该厂生产的产品评分由样本数据估计平均数为， 所以可以认为这10件产品平均等级为一等品， 不一定是一等品，因为样本数据具有随机性，所以新样本平均值不一定达到10分以上， 所以新样本平均等级不一定是一等品.。。。。。10分 18．（12分） 【详解】（1）设事件为李明第一环节抽中题，且第一环节通过面试. 由题意得李明第一环节抽到每道题目的概率均为， 所以.。。。。6分 （2）方法一：设事件为李明第一环节通过面试， 则. 设事件为李明面试失败，李明答题情况如下： 题错题错题错，题错题错题错， 题错题错题错，题错题错题错， 题错题错题错，题错题错题错. 所以. 故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为.。。。12分 方法二：设事件为李明第二环节通过面试，李明答题情况如下： 题错题对，题错题对，题错题对， 题错题对，题错题对，题错题对. 所以. 设事件为李明第三环节通过面试，李明答题情况如下： 题错题错题对，题错题错题对， 题错题错题对，题错题错题对， 题错题错题对，题错题错题对. 所以. 故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为.。。。12分 19．（12分） 【详解】（1）连结交于，连结， 因为是矩形，所以是的中点， 因为是的中点，所以是的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面；   。。。。4分 （2）因为底面ABCD，底面ABCD，所以， 又四边形ABCD为矩形，所以，又，平面SAD，平面SAD， 所以平面SAD，因为平面SAD，所以， 由题意，，点M是SD的中点，所以， 又，平面SCD，平面SCD， 所以平面SCD，因为平面SCD，所以， 又，，平面，平面， 所以平面.。。。。8分 （3）由（2）知平面，则为在平面的射影， 由线面角的定义知，为直线与平面所成角， 在中，，，则， 由面积相等得，所以， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为．。。。。12分 20. （12分） 【详解】（1）由及正弦定理，得. 因为，所以.于是有， 即，即. 又，所以.而，所以.。。。。6分 （2）由题意，， 即， 即. 又，所以① 由是边上的中线，得， . 又，故有②, 由②，得，由①得，。。。9分 所以，，解得或（舍去）， 所以由，解得，.。。。。。。。。。10分 由余弦定理，， 所以.。。。。。。。。。。。。。12分 21．（12分） 【详解】（1）解：连接，以点F为空间坐标系的原点，直线，，分别为轴、轴和轴建立空间坐标系，如图所示， 因为正六棱柱中，底面棱长为2，高为，P，Q分别为，的中点，可得，，，， 所以，， 所以，所以所成角的余弦值为.。。。5分 （2）解：连接，取的中点为S，连接. 由正六棱柱的几何性质得，， 又因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又因为平面，为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面， 即为平面的法向量， 由，，所以，。。。。7分 因为，所以， 因为，所以， ， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以，。。。9分 所以， 令， 当，即时，； 当时，，。。。。10分 因为，所以，所以， 当且仅当时，， 综上所述，可得.。。。。。12分 22．（12分） 【详解】（1）由圆心在轴上的圆与直线切于点，设， 直线的斜率为，则，所以． 所以，所以，，即， 所以圆的标准方程为．。。。。5分 （2）设直线，与圆联立方程组， 可得， ，由根与系数的关系得，， ，。。。。9分 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以的最大值为.。。。。。12分 【点睛】本题的难点在于第二问，求最值.求解最值有关的题目，首先要将表达式求出，本题是结合根与系数关系求得表达式.然后根据表达式的结构来选择求最值的方法，可考虑二次函数的性质、基本不等式或函数的单调性来求解最值.