5.1 任意角和弧度制-【初升高暑假衔接】2023-2024学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第五章《三角函数》 5.1　任意角和弧度制 【知识梳理】 知识点一　角的概念 (1)任意角： ①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． (3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 知识点二　弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度． 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°. (3)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝lr＝α·r2. 其中r是半径，α(0<α<2π)为弧所对圆心角． 【基础自测】 1．判断正误． （1）小于的角都是锐角．( ) （2）终边与始边重合的角为零角．( ) （3）大于的角都是钝角．( ) （4）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是．( ) 2．角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 3．终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　) A．{α|α＝k·360°，k∈Z} B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°，k∈Z} D．{α|α＝k·90°，k∈Z} 4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_______． 5．已知扇形的圆心角为，且圆心角所对的弦长为，则圆心角所对的弧长为___________，该扇形的面积为___________. 【例题详解】 一、任意角的概念 例1　下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③小于90°的角为锐角； ④钝角比第三象限角小； ⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的结论为________(填序号)． 跟踪训练1　经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（   ）. A．60°，720° B．－60°，－720° C．－30°，－360° D．－60°，720° 二、终边相同的角及象限角 例2　(1)将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角． (1)420°； (2)－510°； (3)1 020°. (2)下列说法中正确的序号有________． ①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角； ③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角． (3)在直角坐标系中写出下列角的集合： (1)终边在轴的非负半轴上； (2)终边在上． 跟踪训练2　(1)将化为的形式是（    ） A． B． C． D． (2)下列各角中，与160°角是同一象限角的是（    ） A．600° B．520° C．－140° D．－380° 三、区域角的表示 例3　(1)已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围． (2)终边在第四象限的角的集合是（       ） A． B． C． D． 跟踪训练3 如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．    四、确定nα及所在的象限 例4 已知角的终边在第四象限. （1）试分别判断、是哪个象限的角； （2）求的范围. 跟踪训练4 已知是锐角，那么是（    ）． A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角 五、弧度制的概念 例5　下列说法正确的是(　　) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 跟踪训练5 (1)下列说法中，错误的是（    ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的的角是周角的 C．的角比的角要大 D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 (2)4弧度的角的终边所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 六、角度制与弧度制的互化 例6　将下列角度化为弧度，弧度转化为角度 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 跟踪训练6　已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小． 七、与扇形的弧长、面积有关的计算 例7　已知扇形的圆心角是，半径为. （1）若，求扇形的弧长. （2）若扇形的周长为，当