1.2.3 直线与平面的夹角（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

1.2.3 直线与平面的夹角 目录 学习任务 思维导图 复习引入 主体学习 课堂小结 学习任务 PART ONE 1.掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念. 2.理解最小角定理及公式cos θ=cos θ1cos θ2,并能利用这一公式解决相关问题. 3.会利用空间向量求直线与平面所成的角问题. 思维导图 PART TWO 6 复习引入 PART THREE 日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象，例如如图1所示，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面呈一定角度；如图2所示，地球仪的地轴（即旋转轴）与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面呈一定角度，那么怎样来刻画直线与平面所成的角呢？ 8 主体学习 PART FOUR 一、直线与平面的夹角 设是平面内的一条直线，是平面的一条斜线. 能否将与所成的角定义为直线与所成的角？ 如果不能，该怎样规定直线与平面所成的角？ 当的位置不同时，直线与所成角的大小可能也不同，因此不能将其定义为直线与平面所成的角. 垂足 垂线段 C 斜足 斜线段 为直线AC与平面α所成的角 AC在平面α内的射影 也即是，平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角. 思考：直线与平面夹角的取值范围？ [0°，90°] 如图所示，设AO是平面的一条斜线段，O为斜足， 为A在平面内的射影，而OM是平面内的一条射线，M 记=，OM=, AOM = （1）从直观上判断与的大小关系； （2）说明是否成立，探究，，三者之间的等量关系 解：设OA=1，则, 在中， 因此 12 因为， 故. 最小角定理 平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 13 例1 如图所示，已知在平面内，过该角的顶点引平面的斜线，且使， 求证：斜线在平面内的射影平分. 证明：设点在平面内的射影为点， 则为在平面内的射影. 根据前面的结论有 由∠可得 ∠ 即平分∠. 14 D ⇔ ⇔ 15 二、用空间向量求直线与平面的夹角 如果 是直线的一个方向向量， 是平面的一个法向量,设直线与平面所成角的大小为，通过作图讨论与的关系 或 16 例2 已知是正方体，求与平面 所成角的大小. 解：（方法一）以D为原点, ，，的方向分别为轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示直角坐标系， 则： 所以=(0,1,-1), =(-1,0,0) , =(1,1,0) , 设平面的一个法向量为, 则取=1，可得, 又因为=== 所以=. 与平面所成角的大小为： - = （方法二）设B的中点为E,连接 如图所示， 因为是正方形， 所以. 又因为，且, 所以再根据 B=,可知 因此在面内的射影为， 所以E就是与平面所成的角， 因为正方体中有=，所以在Rt中, E= , 又因为E是一个锐角，所以E=, 与平面所成角的大小为 18 课堂小结 PART FIVE 20 谢谢观看 $