第10讲 2.5.2圆与圆的位置关系(9 类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第10讲 2.5.2圆与圆的位置关系 课程标准 学习目标 ①掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法。 ②会应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题。 通过本节课的学习，会判断两圆的位置关系，会求与两圆位置有关的点的坐标、公共弦长及公共弦所在的直线方程，能求与两圆位置关系相关的综合问题. 知识点01：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 【即学即练1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C: 的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 【答案】C 【详解】圆是以为圆心，半径的圆， 圆:改写成标准方程为，则圆是以为圆心，半径的圆， 则，=3，所以两圆外切， 故选：. 知识点02：圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 【即学即练2】（2022秋·高二课时练习）已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0. 故选：D. 知识点03：圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 【即学即练3】（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆与圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】圆的圆心坐标为，半径为5； 圆的圆心坐标为，半径为3， 所以两圆的圆心距为， 因为，所以两圆相交， 所以两圆的公切线有2条. 故选：B. 知识点04：圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 【即学即练4】（2022秋·高二单元测试）求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】 【详解】设圆的方程为， 则， 即，所以圆心坐标为， 把圆心坐标代入得，解得， 所以所求圆的方程为． 题型01 判断圆与圆的位置关系 【典例1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C: 的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 【典例2】（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【典例3】（多选）（2023春·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习）已知圆和圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆外切 B．直线与圆相切 C．直线被圆所截得的弦长为2 D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为10 【变式1】（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）圆与圆的位置关系为（    ）． A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 题型02求两圆交点坐标 【典例1】（2022·高二课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【典例2】（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆：和圆：交于，两点，则线段的垂直平分线的方程是______. 【变式1】（2023秋·青海西宁·高二校考期末）圆与的交点坐标为_____