第09讲 2.5.1直线与圆的位置关系(13 类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第09讲 2.5.1直线与圆的位置关系 课程标准 学习目标 ①理解与掌握直线与圆的位置关系的判定方法的代数法与几何法。 ②会求与圆有关的直线方程与圆的方程。 ③会根据直线与圆的位置关系求坐标、长度、面积、周长等。 ④会求待定参数并能解决与之相关的综合问题。 通过本节课的学习，会判断直线与圆的位置关系，会求切线方程、弦长及弦所在的直线方程，会根据直线与圆的位置求待定参数及圆的方程，能解决与直线、圆有关的综合问题. 知识点01：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 【即学即练1】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆， 联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义. 联立，解得或，所以直线与有两个交点. 所以直线与曲线的交点个数为2个. 故选：B 知识点02：直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【即学即练2】（2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知直线：与圆交于两点，则____________. 【答案】 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为， 又由圆心到直线的距离为， 根据圆的弦长公式，可得. 故答案为：. 知识点03：直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 【即学即练3】（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______. 【答案】 【详解】圆的圆心为， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接． 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为．    故答案为：. 知识点四：圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 【即学即练4】（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知直线上的两点，且，点为圆上任一点，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把圆变形为， 则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则圆上的点到直线的距离的最大值为，又， ∴的面积的最大值为． 故选：A． 题型01判断直线与圆的位置关系 【典例1】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）坐标轴与圆的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆上到直线距离为的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【典例3】（多选）（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆相离 C．圆心到直线距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最小值为 【变式1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆，直线，则圆与直线（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心 【变式2】（2023·全国·高三专题练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 题型02由直线与圆的位置关系求参数 【典例1】（2023秋·高一单元测试）若直线与曲线恰有两个公共点