3.3 幂函数 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

3.3 必修第一册 幂函数 XXX学校 XXX 2023.09 1 一、幂函数定义 一般地，函数 叫做幂函数(power function) ，其中x为自变量，α为常数。 注：1. y=xα中xα前的系数为1，且后面没有常数项 2. 定义域与的α取值有关 3. α取值可以是任何实数 形如：y=x, y=x2, y=x3, y=x-1. 01 幂函数的定义 1. 下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？ 答案(1)(4) 我们研究以下五类幂函数的图像： 02 幂函数的图像 名称 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 O x y 1 1 -1 -1 O x y 1 1 -1 -1 O x y 1 1 -1 -1 O x y 1 1 -1 -1 R R R [0，+∞） 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 增：(0,+∞) 减：(-∞,0) 增：(-∞,+∞) 增：(-∞,+∞) 增：[0,+∞) 减：(-∞,0) ，(0,+∞) O x y 1 1 -1 -1 (-∞,0)∪ (0,+∞) R [0，+∞） [0，+∞） (-∞,0)∪ (0,+∞) R 在同一平面直角坐 标系内作出幂函数 (1,1) (-1,-1) (2,4) (-2,4) (4,2) O x y （-1,1） 思考：幂函数y=x0的图像是什么？ 02 幂函数的图像 x (1) 幂函数图像不过第几象限？ 当α为奇数时，幂函数为奇函数； 当α为偶数时，幂函数为偶函数． α<0时图象恒过点(1,1). 03 幂函数的性质 第四象限 α>0时图象恒过点(1,1), (0,0); (2) 幂函数图像恒过哪些定点？ (3) 幂函数的奇偶性如何？ α>0，在第一象限内递增； α>1时,图象下凹 ; 0<α<1时,图象上凸. 03 幂函数的性质 (4) 幂函数的单调性性如何？ α<0，在第一象限内递减. 9 10 α>0，在第一象限内递增； α<0，在第一象限内递减. 11 12 用定义证明函数的单调性的步骤: 例4 证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数. (1). 取数:设x1, x2是某个区间上任意二值，且x1＜x2; (2). 作差: f(x1)－f(x2)， (3) 变形 : (4). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号； (5). 下结论. 1．(1)在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0　　 B．1 C．2 D．3 (2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值等于______． 【例2】　点(eq \r(2)，2)与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有： (1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)． [解]　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ. ∵(eq \r(2))α＝2，(－2)β＝－eq \f(1,2)，∴α＝2，β＝－1， ∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， (1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； (2)当x＝1时，f(x)＝g(x)； (3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)． 练习 (1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c (2)函数y＝xeq \s\up15(\f(1,2))－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) A　 　B　　 C　 　D [探究问题] 1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？ 2．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 【例3】　比较下列各组中幂值的大小： (1)0.213,0.233；(2)1.2eq \s\up15(\f(1,2))，0.9eq \s\up15(－\f(1,2))，eq \r(1.1). [解]　(1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23， ∴0.213<0.233. (2)0.9eq \s\up15(－\f(1,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\