3.2.1函数的单调性与最大(小)值 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

3.2.1 必修第一册 单调性与最大(小)值 XXX学校 XXX 2023.09 1 01 单调性 f(x1) x1 x2 f(x2) f (x)=x2 研究f (x) = x2的单调性 ①在区间 ____________ 上，f (x)的值随着x的增大而 ________ ． (-∞,0] 减小 任意取x1,x2∈(-∞,0]，当x1<x2时，有f (x1)>f (x2). 称函数f(x)=x2在区间(-∞,0]上单调递减. 01 单调性与单调区间 f (x1) x1 x2 f (x2) f (x)=x2 研究f (x) = x2的单调性 ②在区间 ____________ 上，f (x)的值随着x的增大而 ________ ． 任意取x1,x2∈[0,+∞)，当x1>x2时，有f (x1)>f (x2). 称函数f(x)=x2在区间[0,+∞)上单调递增. [ 0，+∞) 增大 ∀x1, x2∈D，x1<x2时,有f(x1)<f(x2)，f(x)在区间D上单调递增. 01 ∀x1, x2∈D，x1<x2时,有f(x1)>f(x2)，f(x)在区间D上单调递增. ①单调性是函数的局部性质； ②区间I内的任意两个自变量x1，x2 ③函数的单调区间是其定义域的子集 单调性与单调区间 4 一、说明f (x) = x2的单调性 f (x) = x2在(-∞,0]上单调递减，在区间[0,+∞)上单调递增. 二、说明f (x) = x2的单调区间 f (x) = x2的单调递减是(-∞,0]，单调递增区间是[0,+∞) 01 单调性与单调区间 例 如图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数. 解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]. y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，在区间[-2,1),[3,5]上是增函数. X X X X √ 7 2.对于某一个点而言，无单调性可言，在写单调区间时，可包括端点也可不包括端点；（需考虑端点是否在定义域内） 1.单调区间只能用“，”“和”连接; 3.区别：....在某区间上单调递增/减； ....的单调区间是.....（精确的）。 几点注意事项 探究：画出反比例函数 的图象． ①这个函数的定义域是什么？ ②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论． 思考3：反比例函数 的单调性，单调区间： 单调性的证明 证明： 设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则 1 －1 －1 O x y 1 证明：函数 在 上单调递减. 1. 2. 3. 4. 单调性的证明 例2 根据定义证明函数 在区间 上单调递增. 单调性的证明 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ② 作差f(x1)－f(x2)； ③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 证明函数单调性的方法步骤 求单调区间 【练习】 13 变式：函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3的单调递增区间是 ，则a的取值是______ 已知单调区间求参数 14 02 最大（小）值 1.说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； 2.指出图象的最高点或最低点，你是如何理解函数图象最高点的？ (1) (2) x y o 2 o x y -1 02 最大（小）值 1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值 最大值的几何意义：函数图像上最高点的纵坐标。 2 o x y -1 f(x)≥M 最大（小）值概念辨析 × × × 写出y＝|x2－2x－3|的单调区间． $