2023年苏科版九年级数学中考复习-最值模型；瓜豆原理-主从动点问题

最值模型；瓜豆原理-主从动点问题 1.中考地位：初中数学有一类动态问题叫做主从联动，有的老师叫他瓜豆原理，也有的老师叫他旋转相似这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题． 2.内容介绍：本专题分为2个知识模块和一份课后巩固练习，其中每个知识模块有一道例题和1-3个变式题，并且每道题目之后都标有星级难度，从1星到最高5星，在使用过程中，要灵活变通。教学过程中，要循序渐进，设问引思，可以与学生一起探索讨论，让学生亲自动手练习，最后再归纳总结。 3.最值模型；瓜豆原理-主从动点问题复习教学的注意点 （1）吃透概念、精致运算，练好“基本功”； （2）摸清“套路”，求同存异，提高“解题术”； （3）高观点助力，拓展“思维力”。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 最值模型；瓜豆原理-主从动点问题 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．（古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．） 满足条件： 1.两动一定；2.动点与定点的连线夹角是定角；3.动点到定点的距离比值是定值． 方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第二步：找从动点与主动点的关系； 第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹， 第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值． “瓜豆原理”其实质就是构造旋转、相似． 涉及的知识和方法： 知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值． 1.运动轨迹为圆弧 引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？ 考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2． 【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线， 由Q为AP中点可得：AM=1/2AO． Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径． 考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO； 考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM． 引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO； 考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2． 【模型总结】 为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠PAQ=∠OAM； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比： AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩． 例题★★★如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为　 　． 变式1：★★ 1．已知⊙O的半径长7cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长是 　 　cm． 变式2：★★★★ 2．如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝3：4：5，⊙O沿着△ABC的内部边缘滚动一圈，若⊙O的半径为1，且圆心O运动的路径长为18，则△ABC的周长为　 　． 变式3：★★★★ 3．如图，⊙O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周． （1）点P的运动路径是一个圆； （2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取