2023年苏科版九年级中考数学复习-两点之间线段最短求最值

两点之间线段最短求最值教学思路 1.中考地位：“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。是中考压轴题常用的解题思路。 2.内容介绍：本专题分为3个知识模块和一份课后巩固练习，其中每个知识模块有一道例题和1-3个变式题，并且每道题目之后都标有星级难度，从1星到最高5星，在使用过程中，要灵活变通。教学过程中，要循序渐进，设问引思，可以与学生一起探索讨论，让学生亲自动手练习，最后再归纳总结。 3.两点之间线段最短求最值复习教学的注意点 （1）吃透概念、精致运算，练好“基本功”； （2）摸清“套路”，求同存异，提高“解题术”； （3）高观点助力，拓展“思维力”。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 两点之间线段最短求最值 1.“一线两点”型(一动＋两定) 类型一　异侧线段和最小值问题 问题： 两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小． 【解题思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求． 类型二　同侧线段和最小值问题(将军饮马模型) 问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小． 【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P. 类型三　同侧差最大值问题 问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P. 类型四　异侧差最大值问题 问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决． 例题★★★【问题提出】 （1）如图①，某牧马人要从A地前往B地，途中要到旁边一条笔直的河边l喂马喝一次水，经测量A点到河边的距离AC为300米，B点到河边的距离BD为900米，且点C、D间距离为900米，请计算该牧马人的最短路径长； 【问题探究】 （2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F，△ABC的面积为24，若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，请求出△CDM周长的最小值； 【问题解决】 （3）如图③所示，某工厂生产车间的平面示意图为四边形ABCD，∠C＝∠D＝90°，AD＝70m，CD＝60m，BC＝110m，在AB的中点处有一个出货口M，在BC上有一个质检口N，点D为货物包装口．为了使得该生产车间出货——质检——包装过程达到最高效率，现要求从出货口M到质检口N的距离MN与质检口到包装口D的距离ND之和最短（即MN+ND最短）．请根据要求计算出MN+ND的最小值为多少？ 变式1：★★★ 1．如图①，在菱形ABCD中，BD为对角线，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，其中2BE＝BC，DF＝． （1）求EF的长； （2）如图②，点G为CD上一点，过点G作GH⊥AD于点H，交BD于点M，在AE上取点N，使AN＝2HM，连接BN，CM，求证：BN＝CM； （3）如图③，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，连接A'C，A'D，B'C，求A'C+A'D的最小值． 2.“一点两线”型(两动＋一定) 问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小． 【解题思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可． 例题★★★（1）如图①，在等边△ABC中，BC＝4，点P是BC上一动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为点M，N，连接MN． ①当点P与点B重合时，线段MN的长是　 　， 当AP的长最小时，线段MN的长是 　 　； ②如图②，PM，PN分别交AB，AC于点D，E．当PB＝1时，求线段MN的长； （2）如图③，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，点P，Q，R分别为边BC，AB，AC上（均不与端点重合）的动点，当△PQR的周长最小时，求∠PQR+∠PRQ的度数． 变式1：★★★ 1.如图①，在正方形