专题13 函数与数学模型-2024年新高考数学高频考点+重点题型讲练测

专题13函数与数学模型 一、核心体系 函数应用问题的解题四步骤： (1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型； (2) 建模：将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的函数模型； (3) 解模：求解函数模型，得出数学结论； (4) 还原：将数学结论还原为实际意义的问题． 以上过程用框图表示如下： 二、关键能力 1.了解指数函数、对数函数及幂函数的增长特征，掌握求解函数应用题的步骤． 2.了解函数模型及拟合函数模型；在同一坐标系中能对不同函数的图象进行比较． 3.建立函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的)，要正确地确定实际背景下的定义域，将数学问题还原为实际问题． 三、教学建议 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律； 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义； 3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义. 四、高频考点 几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 函数解析：式 一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 幂函数型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) (2)指数、对数、幂函数模型性质比较 　　 函数 性质　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 五、重点题型 考点一、函数的图像法与列表法 例1-1．多选题（2023·新高考1卷）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 例1-2．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 对点训练 1．（2020北京15）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间 的关系为，用 的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱． 已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示． 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标； ④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 2．如图，长方形的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记 ，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数 ，则的图像大致为（ ） A． B． C． D． 3．某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时间段进行计价，该地区电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位：千瓦时) 高峰电价 (单位：元/千瓦时) 低谷月用电量 (单位：千瓦时) 低谷电价 (单位：元/千瓦时) 50及以下的部分 0.568