4.5.1 函数的应用(二)（第一课时课件）-2023-2024学年高一数学同步备课《知识•素养•思维》精讲课件（人教A版2019必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数 4.5.1 函数的零点与方程的解 高中数学/人教A版/必修一 …… 知识篇 素养篇 思维篇 4.5.1 函数的零点与方程的解 如图是函数 y=2x-8的图象，请对照图象填空： (1)函数 y=2x-8 的图象与x轴的交点为 ; (2)方程 2x-8=0 的根为 ; (3)使函数 y=2x-8 的值为零的实数x为 . 称实数3为函数y=2x-8的零点. (3,0) x=3 3 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点. 思考：零点是点吗？ 函数 f(x) 的零点 函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标 方程 f(x)=0 的实根 （1）从函数看： （2）从方程看： （3）从图象看： 1 函数零点的概念 1 函数零点的概念 答案：(1)1; (2)2、4; (3); (4)-1± 例2， C 练一练 函数 f(x)＝x3－4x 的零点为(　　) A．(0,0)，(2,0) B．(－2,0)，(0,0)，(2,0) C．－2, 0, 2 D．0, 2 答案： C 1 函数零点的概念 分析： (1)能否观察出零点？ (2)能否用公式求零点？ (3)如何知道有没有零点？ (4)常规方法行不通时，有什么策略？ 转化！ 观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象： (1)在区间[-2，1]上有零点______； f(-2)=_______，f(1)=_______， f(-2)·f(1)___0(填“＜”或“＞”)． (2)在区间(2，4)上有零点______； f(2)·f(4)____0(填“＜”或“＞”). x =－1 －4 5 < x=3 < 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x y O -2 -1 -4 -3 -2 -1 2 零点存在性定理 ①在区间(a,b)上,f(a)·f(b)____0(填“＜”或“＞”) 在区间(a,b)上,______(填“有”或“无”)零点； ②在区间(b,c)上,f(b)·f(c) ___0(填“＜”或“＞”) 在区间(b,c)上,______(填“有”或“无”)零点； ③在区间(c,d)上f(c)·f(d) ___0(填“＜”或“＞”) 在区间(c,d)上,____(填“有”或“无”)零点. 有 < 有 < 有 < 观察y=f(x)图象,填空: 2 零点存在性定理 x y O a b c 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的一个根. 2 零点存在性定理 思考：区间(a,b)内零点存在，是否唯一？ 方程lnx = 在其内必有一个根的区间是( ) A.(1, 2) B.(2, 3) C.( , 1) D.(3, +∞) 答案：B 分析：将方程转化为函数，再利用零点的存在性定理判断 练一练 例2 判断对错，若不正确，请使用函数图象举出反例. 2 零点存在性定理 （1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0， 则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ） （2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0， 则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ） （3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0， 则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点. （ ） a b O x y a b O x y a b O x y 答案：(1)×; (2)×; (3)× . (1)反例 (2)反例 (3)反例 若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且函数y=f(x)在(a, b)内有零点，则 f(a)·f(b)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.无法判断 D.等于0 C 分析：f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在(a,b)上一定有零点，但是函数y=f(x)在(a,b)上有零点，f(a)f(b)<0不一定成立. 练一练 14 由表可知f(2)<0，f(3)