4.1 指数-2023-2024学年高一数学《赢在新起点》同步课堂备课讲义（人教A版2019必修第一册）

4.1指数 知识点 1、次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做 ，叫做被 . 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， 2、正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) Eg： ，. ② 正数的正分数指数幂的意义： ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 3、 实数指数幂的运算性质 ① ② ③ 典型例题 1、 如果，，那么　 　． 2、 已知，则　 　． 3、 已知实数满足，则的取值范围是　 　. 4、已知，则不可能满足的关系是(　　) 基础题型训练 一、单选题 1．若正数，满足，，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．若代数式有意义，则（    ） A． B． C． D． 3．等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 4．等于（    ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．化简(其中，)的结果是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列选项不正确的是（   ） A．49的平方根为7； B．； C．； D．． 8．以下说法正确的是（ ） A． B．已知是幂函数，则m的值为4 C． D．钝角是第二象限的角 三、填空题 9．的平方根是_________. 10．设函数，则_________． 11．设，，若、的几何平均值为（是自然对数的底数），则、的算术平均值的最小值为__________. 12．设，是以为周期的函数，，若函数，的值域为，则函数，的值域为________. 四、解答题 13．用计算器求值（结果精确到0.001）： (1)； (2)； (3)． 14．已知a，b，c均为正数，且，求证：； 15．化简： （1）；            （2）. 16．（1）已知，求的值． （2）已知是方程的一个根，试求的值. 提升题型训练 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1指数 知识点 1、次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， 2、正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) Eg： ，. ② 正数的正分数指数幂的意义： ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 3、 实数指数幂的运算性质 ① ② ③ 典型例题 1、 如果，，那么　 　． 【解析】由，得， 则． 故答案为． 2、 已知，则　 　． 【解析】由，可得，， ． 故选：． 3、 已知实数满足，则的取值范围是　 　. 【解析】设，， 又， ，； 即，解得； ； 由已知， ， 时，的最大值为；时的最小值为； 所以的取值范围是． 故答案为：． 4、已知，则不可能满足的关系是(　　) ，， ，， ， ， ，则有， ，， ， ， ，故错误 故选：． 基础题型训练 一、单选题 1．若正数，满足，，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据根式的性质求出，，即可得解. 【详解】解：因为正数，满足，， 所以，， 所以； 故选：C 2．若代数式有意义，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由有意义求出的取值范围，然后根据根式的运算性质化简计算即可得答案 【详解】由有意义，得解得． 所以 所以． 故选：B． 3．等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的知识可得答案. 【详解】等式成立的条件是，即. 故选：D 4．等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由根式化为指数，再结合指数幂的运算性质可求出答案. 【详解】由题意，可知， ∴·. 故选：A. 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数的运算性质逐一判断即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 6．化简(其中，)的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件化根式为分数指数幂，再借助幂的运算法则计算