第14讲 椭圆-2023-2024学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

第14讲 椭圆 .掌握椭圆的定义以及标准方程、几何图形和简单几何性质. 1 定义 平面内与两个定点的 等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为 . 如图：是椭圆上一点.(三角形两边之和大于第三边) 注 点的轨迹是以、为焦点的椭圆； 点的轨迹是线段； 点P的轨迹是无轨迹. 2 几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 轴长 短轴长长轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 3 一些常见结论 ① 通径：过焦点且垂直于长轴的弦，其长度 ； ② 最大角，是椭圆上一点，当运动到短轴端点时，为最大角； ③ 焦点三角形面积 ； ④ 焦半径，； ⑤ 椭圆的参数方程. 【题型 1椭圆的定义 】 【典题】（1）如图，点是平面外一定点，过作平面的斜线斜线与平面所成角为．若点在平面内运动，并使直线与所成角为则动点的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线的一支 【典题】（2） 设定点动点满足条件，则点的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 巩固练习 1. 在棱长为的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为(　　) A． B． C． D． 2.设为定点，动点满足则动点的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【题型 2 椭圆方程】 【典题】 （1）已知是椭圆的右焦点，且过点则椭圆的标准方程为　　． 【典题】 （2）经过两点的椭圆的标准方程为　 　. 【典题】 （3）已知方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为　 　． 巩固练习 1. 已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为　 　． 2. 已知方程1表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　 　． 3. 焦点在轴上，焦距等于且经过点的椭圆标准方程是　　． 【题型 3 椭圆的图像及其性质】 【典题】 （1）如图，已知椭圆的中心为原点为的左焦点为上一点，满足且则椭圆的方程为 . 【典题】 （2）椭圆的离心率为为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与关于直线对称，则椭圆方程为 . 【典题】 （3）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为若则直线的斜率为 . 巩固练习 1. 椭圆的长轴长是短轴长的两倍，则的值为　 　． 2. 已知椭圆：1的左、右焦点为为坐标原点为椭圆上一点．与轴交于一点则椭圆的离心率为　 　． 3. 已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的短轴长为，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 4.设点P为椭圆：上一点、分别是椭圆的左、右焦点为的重心，且那么的面积为　 　． 一、单选题 1．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2006·山东·高考真题）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2008·山东·高考真题）设椭圆的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为．若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2008·天津·高考真题）设椭圆上一点到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则点到右准线的距离为（    ） A．6 B．2 C． D． 5．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 6．（2007·北京·高考真题）椭圆的焦点为，两条准线与x轴的交点分别为M，N．若，则该椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2007·湖南·高考真题）设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2008·湖南·高考真题）已知椭圆的右焦点为F，右准线为，离心率．过顶点作，垂足为，则直线的斜率等于 ． 9．（2008·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率 ． 10．（2007·福建·高考真题）已知长方形，，，则以，为焦点，且过，的椭圆的离心率为 ． 11．（2015·山东·统考高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦