第16讲 抛物线-2023-2024学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

第16讲 抛物线 1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的几何性质． 2．通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合思想． 3．了解抛物线的简单应用． 1 定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为 ，定点称为抛物线的 ，定直线称为抛物线的 . 如图在抛物线上. 2 几何性质 标准方程 图象 顶点 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点 准线方程 离心率 3 一些常见结论 ① 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于两点的线段称为抛物线的“ ”，即. ② 若在抛物线上是焦点，则. 【题型 1抛物线的定义与方程 】 【典题】（1） 与圆外切，且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程是　 　． 巩固练习 1. 若点到点的距离比它到直线的距离少则动点的轨迹方程是　 ． 2.到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是(　　) A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线 【题型 2 抛物线的图象及其性质】 【典题】（1）已知抛物线：的焦点为点在抛物线上，且三点共线点在准线上，若则　　． 【典题】（2）已知抛物线：的焦点为准线为为上一点垂直于点分别为的中点与轴相交于点若则等于　　． 【典题】（3）已知为抛物线：的焦点为的准线与轴的交点，点在抛物线上，设有以下个结论： ①的最大值是；②；③存在点满足． 其中正确结论的序号是　 ． 巩固练习 1.如图过抛物线的焦点的直线依次交拋物线及准线于点若且则(　　) A．2 B． C．3 D．6 2. 【多选题】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是(　　) A． B． C． D．与之间的距离为 3. 已知点抛物线：的准线为点在上，作于且则抛物线方程为　　． 4. 【多选题】已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　) A．点的坐标为(0) B．若直线过点则 C．若则的最小值为 D．若则线段的中点到轴的距离为 5 如图，点是曲线上的任意一点射线交曲线于点垂直于直线垂足为点．则下列判断：①为定值；②为定值．其中正确的说法是(　　) A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确 【题型3 最值问题】 【典题】（1）已知是坐标原点是抛物线上不同于的两点，且下列结论中正确的是(　　) A． B． C．直线过抛物线的焦点 D．到直线的距离小于或等于 【典题】（2）若点是曲线：上的动点，点是曲线：上的动点，点为坐标原点，则的最小值是　　． 巩固练习 1. 若点为抛物线上一点是抛物线的焦点点为直线上的动点，则的最小值为　 　． 2.已知点及抛物线上一动点则的最小值为　　． 3. 已知点点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为　 　． 4. 已知抛物线：的焦点为是抛物线上的两个动点，若则的最大值为　 ． 5. 已知点是抛物线上动点是抛物线的焦点，点的坐标为则的最小值为　 　． 一、单选题 1．（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2007·山东·高考真题）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 3．（2007·全国·高考真题）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点．若，则（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 4．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 二、多选题 6．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 7．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象