第15讲 双曲线-2023-2024学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

第15讲 双曲线 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程以及简单几何性质. 2.通过双曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想. 1 定义 平面内与两个定点，的距离之差的 等于常数(小于的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的 ． 如图，是双曲线上一点，|. PS 当时，轨迹仅表示双曲线的 ； 当时，轨迹仅表示双曲线的 ； 当|时，轨迹是一直线上以，为端点向外的两条 ； 当|时，轨迹不存在. 2 几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图象 标准方程 范围 或 或 顶点 轴长 虚轴长，实轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 渐近线 实轴和虚轴等长的双曲线称为 ． 3 一些常用结论 ①通径：过焦点且垂直实轴的弦，其长度为 ； ②焦点到渐近线的距离是； ③焦点三角形面积； ④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 ⑤焦半径，(点在双曲线右支上) ⑥双曲线的参数方程. 【题型 1双曲线的定义 】 【典题】（1）一动圆过定点，且与已知圆：相切，求动圆圆心的轨迹方程. 【典题】（2）平面内有两个定点和，动点满足条件，则动点的轨迹是(　　) A．椭圆 B． C． D． 巩固练习 1. 点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线 2. 平面内到两定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹(　　) A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线 【题型 2 双曲线方程】 【典题】 （1） 与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线标准方程是 . 【典题】 （2）已知方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则的求值范围是 . 【典题】 （3）双曲线过点、，则双曲线的标准方程为　 　． 巩固练习 1. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为 . 2. 在下列条件下求双曲线标准方程． (1) 经过两点，； (2) ，经过点，焦点在轴上． 3.若，则是方程1表示双曲线的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型3 双曲线的图像及其性质】 【典题】 （1） 设双曲线：，的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且，若的面积为，则 . 【典题】（2） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为 . 【典题】 （3） 已知分别为双曲线的左右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为的内心，过原点作的平行线交于，若成立，则下列结论正确的有(　　) A． B． C．点的横坐标为 D． 巩固练习 1. [多选题] 已知双曲线：的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，则有 (　　) A．渐近线方程为 B．渐近线方程为 C． D． 2. [多选题] 已知，分别是双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点，为左顶点，为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，则(　　) A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．直线与双曲线有两个公共点 3.若双曲线：的实轴长等于虚轴长的一半，则(　　) A． B． C． D． 4.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于两点，2，•0，则的渐近线方程为 . 【题型3 最值问题】 【典题】（1 求离心率范围） 已知双曲线在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分线的角为，若的取值范围是，则该双曲线离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D．[2，+∞) 【典题】（2 几何法求范围） 点是双曲线：的右焦点，动点在双曲线左支上，直线：与直线：的交点为，则的最小值为(　　) A．8 B． C．9 D． 【典题】（3 函数法求范围） 已知双曲线的一条渐近线方程为，为双曲线上一个动点，为其左，右焦点，的最小值为，则此双曲线的焦距为(　　) A．2 B．4 C．2 D．2 巩固练习 1. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为　 　． 2..设双曲线：的左、右焦点分别为，，，过作轴的垂线，与双曲线在一第象限的交点为，点坐标为且满足，若在双曲线