第23章 解直角三角形 23.2 解直角三角形的实际应用 2022--2023学年沪科版数学九年级上册

解直角三角形的实际应用 仰角俯角问题 （1）仰角俯角的概念：角的仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，可巧记 为 “上仰下俯”. 仰角俯角问题 （2）解决仰角俯角此类实际问题的一般步骤： ②利用解直角三角形的知识转化为线段比，就可求出物体的高（长）度. ①由已知仰角(俯角)，构造直角三角形 仰角 视线 水平线 水平线 俯角 视线 例.如图，一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62m，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°．求小岛高度AC. 分析： ∠ADC＝∠B+∠BAD（三角形的外角的性质） ∠B＝∠BAD＝30°， A 30° 60° B C D 30° 62m 62m BD=AD=62m 在Rt△ACD中，根据sin60°= ，求出AC 例.如图，一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62m，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°．求小岛高度AC. 解： A 30° 60° B C D ∵∠ADC＝∠B+∠BAD， ∴∠BAD＝∠ADC-∠B＝60°-30°＝30°， ∴∠B＝∠BAD， ∴AD＝BD＝62m， 在Rt△ACD中，∠ADC=60° 答：小岛的高度为 米． ∵sin∠ADC= = ， 30° 62m 62m 三角形外角性质 等角对等边 解直角三角形 ∴AC＝AD•sin∠ADC=62× ＝ m． 例.如图，航拍无人机在C处测得正前方一栋建筑物顶部A处的仰角为45°，测得底部B的俯角为31°．已知该建筑物的高度AB为32m，根据测得的数据，计算此时航拍无人机距地面的高度CD（结果保留整数）．参考数据：tan31°≈0.60． 分析： D B A C E 45° 31° 过点C作CE⊥AB于点E，构造直角三角形 ∵∠ACE=45°， 设AE=x，则CE=x， 根据CD=AB-AE，得出高度CD ∴△ACE为等腰直角三角形 ∵AB=32m，∴BE=32-x 在Rt△BEC中， tan31°= 解出x x x 32-x 例.如图，航拍无人机在C处测得正前方一栋建筑物顶部A处的仰角为45°，测得底部B的俯角为31°．已知该建筑物的高度AB为32m，根据测得的数据，计算此时航拍无人机距地面的高度CD（结果保留整数）．参考数据：tan31°≈0.60． 解： ∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴四边形BDCE是矩形， 矩形判定 等腰三角形性质 解直角三角形 D B A C 45° 31° ∴CD＝EB，CE＝DB， 在Rt△BEC中，∠BCE＝31°， ∴tan31°＝ ≈0.6 ∴x≈20m． 答：此时航拍无人机距地面的高度CD为12米. 如图，过点C作CE⊥AB于点E， E ∴在Rt△ACE中，∠ACE＝45°， ∴AE=CE， 设AE=x，则CE=x，BE=32-x， ∴CD=BE=AB-CE=32-20=12m x x 32-x 坡度坡比问题 h l α 坡度坡比 （3）解决坡度坡比此类实际问题的一般步骤 添加辅助线构造出直角三角形将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解。 （1）坡角：如图∠α即为坡角. A B C D α β （2）坡度坡比的概念：即坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比，简称 i，即坡角的正切值 (tan∠α 值，∠α为斜坡与水平面夹角). i =tan∠α= = 例.如图，为消除淮河灾害，某市水利部门修建了横断面是梯形的淮河大坝，坝顶宽6m，坝高BE＝CF＝20m，斜坡AB的坡角∠A＝30°，斜坡CD的坡度i＝1：3，求坝底AD的宽． 分析： 在Rt△CDF中，根据CD坡度i=1:3. 得出DF 根据矩形性质，得出BE=CF=20，BC=EF=6 根据AD=AE+EF+DF,求出AD E F A B C D 30° 在Rt△ABE中，根据tan30°=