第23章 解直角三角形 23.2 解直角三角形2022--2023学年沪科版数学九年级上册

解直角三角形 首先了解什么是解直角三角形 一、解直角三角形的定义 认识： 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，如图Rt△ABC中，a、b、c、∠A、∠B，即三条边和两个锐角，由直角三角形中已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 接下来！我们来借助直角三角形分析一下五个元素之间的关系 A B C a c b 二、解直角三角形的元素 1、如图所示；五个元素分别为：a、b、c、∠A、∠B 2、通常五个元素至少已知两个元素（至少有一个是边） 4、边角关系式；sin A= cos A= tan A= 3、结合锐角三角函数的边角关系式解直角三角形 A B C a c b sin B= cos B= tan B= 作垂线 构造直角三角形 三、构造直角三角形 1、含特殊角的一般三角形通过添加辅助线构造直角三角形． 特殊角指的是30°、45°、60° 如图所示：△ABC中，∠B和∠C都可以是特殊角，再已知一个边长，让我们求其他边长或者角度,类似这种题目，我们都可以做垂线，来构造直角三角形，构造的直角三角形一般要包含特殊角，从而解三角形. 技巧总结： A B C 分析： 解直角三角形 D 作垂线 2、含特殊角的四边形通过添加辅助线构造直角三角形 关于这类题目的解题思路，其实跟上一类很像，虽然是四边形，但是也会有特殊角， 所以我们可以作垂线或者延长线，构造直角三角形.如图； 分析： 如图；类似四边形ABCD，会告诉我们一些特殊角，如∠A、∠C是已知的特殊角，∠B为直角，如图，延长AD和BC交于点E,构造直角三角形,把特殊角包含在直角三角形内,再根据已知边长和边角关系式，解直角三角形. （1）四边形本身含有特殊角 A B C D E 同学们！你还可以作垂线构造直角三角形吗？ 作垂线或延长线 2 1 A B C D 直角三角形一般包含特殊角 同样也是四边形，但是四边形本身不含有特殊角，在四边形内部的图形含有特殊角，关 于这类题目的解题思路，我们通常采用做垂线的方法，一般把特殊角构造在直角三角形 内，然后解直角三角形.如图； 分析： 构造直角三角形 技巧总结： 解直角三角形 如图；类似四边形ABCD，会告诉我们一些特殊角，如∠1、∠2是已知的特殊角，我们通过做垂线构造直角三角形，如图，作DE⊥AC,把特殊角包含在直角三角形内,再根据已知边长和边角关系式，解直角三角形 E （2）四边形内部含有特殊角 3、没有特殊角的斜三角形求解问题 这里的斜三角形指的是 锐角三角形和钝角三角形 关于这类题目，给我们的图形都是斜三角形，而且没有特殊角，但都会告诉我们某些 角度的三角函数值，所以也可以构造直角三角形，借助边角关系式，解直角三角形. 分析： 直角三角形要包含 已知三角函数值的角 作垂线 构造直角三角形 技巧总结： 解直角三角形 如图；斜三角形ABC没有特殊角,但是会告诉我们某些角的三角函数值，比如 cos A =0.25,再结合已知边解直角三角形 C A B 四、解直角三角形的常见类型 1、背靠背型 这类题目，是解直角三角形的常见类型，通常指两个三角形并列背靠背关系， 有着公共边，且这条公共边是解直角三角形的关键.如图； 分析： A B C D 公共边 如图；△ABD和△ADC就是背靠背，公共边AD是解题的关键，同时也连接着两个三角形的边角关系式，通常要从公共边AD入手，利用方程思想，选择一条边，设其长度为x，再用含有x的代数式表示其他边，从而列方程，解方程，最后求出边或角 2、母子型 这类题目，也是解直角三角形的常见类型，通常指一个直角三角形含着另外一个直角 三角形，而且有一个公共边，因为这两个三角形的边角关系式都包含着这个公共边， 所以这个公共边也是解直角三角形的关键.如图； 分析： 如图；△ACB和△ACD就是母子型，AC是公共边，这个边在两个三角形内都有边角关系式，也是解题的关键，只要求出这个公共边，再根据边角关系式，依次可以求出其他边和角，通常也会用到方程思想 B A C D 公共边 根据tanB= 例. 如图△ABC中，tan B＝ ，cos C ＝ ，AC＝ .求BC的长. 分析： 含特殊角的一般三角形 求出AE=CE=1 根据cosC= 作AE⊥BC 求出∠C=45° 求出BE A B C E 例. 如图△ABC中，tan B＝ ，cos C＝ ，AC＝ .求BC的长. 解： 总结： 构造直角三角形 解直角三角形 如图，过点A作AE⊥B