第23章 解直角三角形 23.1 锐角三角函数2022--2023学年沪科版数学九年级上册

锐角三角函数 1、锐角三角函数的概念 Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 ， ， (1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦记作sinA＝ = (2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝ = (3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝ = 一、锐角三角函数的性质和相互之间的关系 a c b 2、特殊角的三角函数值 锐角 锐角三角函数 30° 45° 60° sin A cos A tan A 1 2 60° 30° 45° 45° 1 1 3、锐角三角函数的增减性 (1) 锐角三角函数的范围 0°＜ ＜90°，锐角的正弦值的范围是 0＜ ＜l， 0°＜ ＜90°，锐角的余弦值的范围是 0＜ ＜l ； 0°＜ ＜90°，锐角的正切值的范围是 ＞0 . (2) 锐角三角函数的增减性 在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大； 在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小； 在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大. 4、互余角的三角函数间的关系 (1) 互余两角的正余弦之间的关系： ， 即任意一个锐角的正(余)弦值 , 等于它的余角的余(正)弦值. (2)平方关系： (3) 商数关系： A B C a b c sinA= cosB= ∠A+∠B=90° sinA=cosB 二、求锐角三角函数的常见方法 1、定义法： 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求解。 2、参数法： 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题。 3、等角代换法： 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等”来解决。 A B C 4、利用网格求三角函数值： （1） 构造直角三角形 锐角三角函数反映了直角三角形中边与角的关系，所以要求三角函数值，必须将这个角放到直角三角形中。 （2） 转化成在格点上的角 （3） 面积法 （4） 勾股定理法 三、通过锐角三角函数求线段长、求角度 1、已知一边和一锐角： (1) 已知斜边c和一锐角∠A： (2) 已知直角边a和一锐角∠A： 已知条件 解法步骤 两边 2、已知两边： 斜边 和直角边 两条直角边 和 1、 2、利用 ，求 3、 1、 2、利用 ，求 3、 例. 已知 ， 是锐角，则下列答案正确的是（ ） A. B. C. D. 分析： 锐角三角函数的增减性 结合 的正弦值 得出结论 解： ∵在 之间，锐角的正弦值随角度 的增大而增大， 且 ， 又 ∴ ， 故选B. 比较锐角大小 B 例. 化简： 分析： 解： 原式= = = ∵a为锐角时， 0＜ ＜l ∴ 平方关系 互余两角的正余弦之间的关系 锐角三角函数值的范围 例. 在 Rt△ABC中，∠BCA= ，CD是AB的中线，BC=8，CD=5，求 . 分析： 根据CD