专题07反比例函数与获取最大利润（6个知识点9种题型2个易错点）-【倍速学习法】2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

专题07反比例函数与获取最大利润（6个知识点9种题型2个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1 反比例函数的概念 知识点2反比例函数图象的画法 知识点3反比例函数图象和性质 知识点4反比例函数表达式的确定 知识点5反比例函数的实际应用 知识点6 获得最大利润 【方法二】 实例探索法 题型1根据反比例函数的概念求字母参数的值 题型2确定反比例函数的表达式 题型3反比例函数的图像 题型4反比例函数性质应用 题型5 反比例函数中系数k的几何意义 题型6反比例函数的实际应用 题型7反比例函数与一次函数的综合 题型8反比例函数中图形的面积问题 题型9获得最大利润问题 【方法三】 差异对比法 易错点1忽略点所在的象限 易错点2在实际问题中，易忽略反比例函数中自变量的取值范围 【方法四】 成果评定法 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1 反比例函数的概念 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是因变量，定义域是不等于零的一切实数. 要点诠释：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点； （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【例1】1、在下列函数关系式中，哪些函数表示是的反比例函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）（，是常数） 知识点2反比例函数图象的画法 知识点3反比例函数图象和性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 要点诠释：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 【例2】在函数（为常数）的图象上有三点()，()，()，且， 则的大小关系是（ ）． A． B． C． D． 【变式】已知的图象在第二、四象限， (1)求的值． (2)若点(－2，)、(－1，)、(1，)都在双曲线上，试比较、、的大小． 知识点4反比例函数表达式的确定 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 　 （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 【例3】已知正比例函数和反比例函数的图象都过点A(，1) ．求此正比例函数的关系式 及另一个交点的坐标． 【变式】已知与成反比，且当时，，则当时，值为多少？ 知识点5反比例函数的实际应用 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 【例4】如图，已知A（﹣4，n），B（1，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积； （3）求不等式kx+b﹣＜0的解集（请直接写出答案）． 【变式】如图，反比例函数图象在第一象限的分支上有一点C（1，3），过点C的直线y=kx+b〔k＜0〕与x轴交于点A． （1）求反比例函数的解析式； （2）当直线与反比例函数的图象在第一象限内的另一交点的横坐标为3时，求△