专题05二次函数的应用（2个知识点6种题型1个易错点）-【倍速学习法】2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

专题05二次函数的应用（2个知识点6种题型1个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1 二次函数的应用 知识点2二次函数综合题 【方法二】 实例探索法 题型1利润最大问题 题型2面积最大问题 题型3构建二次函数模型解决实际问题 题型4一题多解法—建立平面直角坐标系，利用二次函数解决实际问题 题型5 综合应用二次函数与一次函数的知识解决实际问题 题型6二次函数与动点问题相结合求最值 【方法三】 差异对比法 易错点忽视二次函数的取值范围造成错误 【方法四】 成果评定法 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点2．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【方法二】实例探索法 题型1利润最大问题 1．（2023·浙江宁波·统考二模）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）． (1)设一天订住的房间数为y，求出y关于x的函数表达式． (2)x定为多少元时，宾馆可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当定为160元时，宾馆可获得最大利润，最大利润为11560 元 【详解】（1）解：由题意得； （2）设宾馆的利润为w，依题意得 ； ， 当时，w有最大值为11560元． 答：当定为 160 元时，宾馆可获得最大利润，最大利润为11560元． 2．（2022•宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． （1）求y关于x的函数表达式． （2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 【解答】解：（1）∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， ∴y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5， 答：y关于x的函数表达式为y＝﹣0.5x+5，（2≤x≤8，且x为整数）； （2）设每平方米小番茄产量为W千克， 根据题意得：W＝x（﹣0.5x+5）＝﹣0.5x2+5x＝﹣0.5（x﹣5）2+12.5， ∵﹣0.5＜0， ∴当x＝5时，W取最大值，最大值为12.5， 答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克． 3．（2022•嘉兴二模）某公司成功开发出一种产品，正式投产后，生产成本为5元/件．公司按订单生产该产品（销售量＝产量），年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足如图1所示的函数关系，公司规定产品售价不超过15元/件，受产能限制，年销售量不超过30万件；为了提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（P万元计入成本），P与x之间的函数关系式如图2所示，当10≤x≤15时可看成抛物线P＝x2﹣4x+m． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）求这种产品年利润W（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式． （3）当售价x为多少元时，年利润W最大，并求出这个最大值． 【解答】解：（1）设y与x之间