2.1 认识一元二次方程 教案 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 2. 1 认识一元二次方程 · 教材分析 学生的知识技能基础：学生在七年级上学期学习的一元一次方程中，已经学习过方程的解的概念，此后又分别在二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程中多次学习了关于方程(或方程组)的求解的过程.因此对本章中的“使一元二次方程的左右两边的值相等的未知数的值即为该一元二次方程的解”的概念不难理解； 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经初步感受到了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，解决了一些实际问题.同时通过上一节课的学习，学生发现，一元二次方程在生活中也有着广泛的应用，而列方程、解方程和应用方程是一体的.在学生已有的估算能力的基础上，引导学生在具体的问题情境中，经历估计近似解的过程，寻找方程的解.同时，在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力. · 教学目标 1. 让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想. 2. 结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识；经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力. 3. 进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识，学会在合作学习中相互交流. · 教学重难点 · 【教学重点】 探索满足一元二次方程解或近似解的过程. 【教学难点】 由具体问题抽象出方程的过程. · 课前准备 · 课件. · 教学过程 一、创设情境，引入新知 思考：1. 你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗？ 2. 你能根据商品的销售利润作出一定决策吗？ 得出新知：与一次方程和分式方程一样,一元二次方程也是刻画现实的有效数学模型 这就是这节课要学习的内容. 二、合作交流，探究新知 给出例子： 例1：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为8m，宽为5m．如果地毯中央长方形图案的面积为18m²，则花边多宽？ 先让同学们自行思考或者相互讨论，应该怎样解决这个问题呢？ 老师一步步给出解答，在解答中适当设置填空，考察同学们的能力. 解题过程： （1）画出地毯的数学草图 （2）如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为　　 　 m, 答案：长为（8－2x），宽为（5－2x） （3）根据题意,可得方程：_____________________________. 答案：(8 － 2x) (5 － 2x) = 18. （4）请同学们思考，你能化简这个方程吗？ 例2：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？ 设立题意：这一题让学生们在上一题的基础上，自己拿出草稿纸，自己写自己做 解题过程： （1）由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 ________ m.　　 答案：6 （2）如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙________m. 答案：x+6 （3）根据题意，可得方程________________________. 答案：72＋(x＋6)2＝102 （4）请同学们思考，你能化简这个方程吗？ 例3：观察下面等式： 102+112+122=132+142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 设立题意：将其化简化，探索一般规律. 解题过程： （1）如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：______. 答案：＋1，＋2，＋3，＋4 （1） 根据题意，可得方程：______________________. 答案： x2+(x＋1)2+(x＋2)2=(x＋3)2+(x＋4)2 （3）请同学们思考，你能化简这个方程吗？ 总结例题经验： 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： （1）(8-2x)(5-2x)=18 （2）72 +(x+6)2 =102 （3）x2 +(x+1)2 +(x+2)2 =(x+3)2 +(x+4)2 将这三个方程进行化简，得到： （1）2x2 －13x＋11 = 0. （2）x2 ＋12 x－15 ＝0. （3）x2 － 8x－20＝0. 思考：上述三个方程有什么共同特点？ 上面的方程都是只含有______的______，并且都可以化为______________的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 得出一元二次方程的定义： a２＋b＋c＝0(a，b，c为常数, a ≠0 )称为一元二次方程的一般形式，其中a２