2.3.2用公式法求解一元二次方程教案 2022-2023学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程 第2课时 一、教学目标 1．经历列一元二次方程解决简单实际问题的过程，体会模型思想，增强应用意识和能力． 2．推导求根公式、判别方程根的情况的过程中，强化推理技能训练，进一步发展演绎推理能力． 二、教学重点及难点 重点：一元二次方程求根公式的应用． 难点：一元二次方程求根公式的应用． 三、教学用具 多媒体课件，计算器. 四、相关资源 《一元二次方程求根公式》动画. 五、教学过程 【复习引入】 学生活动：用公式法解下列方程： （1）2x2-5x+2=0；（2）2x2=1-3x． 解：（1）因为a=2，b=-5，c=2， 所以Δ=b2-4ac=(-5)2-4×2×2=25-16=9＞0． 所以x==， 即x1=2，x2=． （2）方程化为2x2+3x-1=0，其中a=2，b=3，c=-1． 所以Δ=b2-4ac=32-4×2×(-1)=9+8=17＞0． 所以x==， 即x1=，x2=． 总结用公式法解一元二次方程的一般步骤：（学生总结，老师点评）： （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出b2－4ac的值； （3）当b2-4ac≥0时，把a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式x=，求出x1，x2. 设计意图：通过复习引入，让学生回忆用公式法解一元二次方程的一般步骤，为本节课的学习做好铺垫． 【探究新知】 例 在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你能给出设计方案吗？ 小明的设计方案如图1所示，其中花园四周小路的宽度都相等．通过解方程，他得到小路的宽为2 m或12 m． 小亮的设计方案如图2所示，其中花园每个角上的扇形都相同． （1）你认为小明的结果对吗？为什么？ （2）你能帮小亮求出图中的x吗？ （3）你还有其他设计方案吗？ 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师找学生代表回答，最后教师给出规范解题过程． 解：（1）小明的结果不正确；正确解法：设小路的宽度为x m．根据题意列方程，得．整理，得x2-14x+24=0．解得x1=2，x2=12．小路的宽12 m符合所列方程，但荒地的宽为12 m，因而小路的宽不可能是12 m，因此x=12不是实际问题的解，应舍去．而小路的宽2 m符合这个实际问题，所以小路的宽应是2 m． （2）在小亮的设计方案中，4个相同扇形的面积之和恰好为一个圆的面积，且其半径为x m，根据题意，得．解得．所以图中的x约为5.5． （3）设计方案是多种多样的，下面给出几种仅供参考： 注意：一元二次方程有两个根，这些根虽然都满足所列的一元二次方程，但未必符号实际问题．因此，解完一元二次方程之后，要按题意检验这些根是不是实际问题的解． 设计意图：通过引导学生分析、探究，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力． 【典例精析】 对于例2中的花园设计问题，小颖的设计方案如图所示，你能帮她求出图中的x吗？ 解：根据题意列方程，得．整理，得x2-28x+96=0． 解得x1=4，x2=24（不合题意，舍去）．所以图中的x为4． 【课堂练习】 1．在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72％，那么金色纸边的宽应该是多少？ 师生活动：教师出示问题，找学生代表回答． 2．如图，圆柱的高为15 cm，全面积（也称表面积）为200π cm2，那么圆柱底面半径为多少？ 3．如图所示，要建一个面积为150 m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为a m，另三边用竹篱笆围成，已知竹篱笆总长为35 m，且要求全部用完． （1）求鸡场的长与宽各为多少米？ （2）题中的墙长为a m对题目的解起着怎样的作用？ 师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题． 参考答案 1．金色纸边的宽应该是5 cm． 2．圆柱底面半径为5 cm． 3．解：（1）设鸡场的宽为x m，则长为(35-2x)m．依题意可列方程为x(35-2x)=150． 整理，得2x2-35x+150=0． 解方程，得x1=10,x2=7.5． 当x=10时，35-2x=15；当x=7.5时，35-2x=20． 答：当鸡场的宽为10 m时，长为15 m；当鸡场的宽为7.5 m时，长为20 m． （2）由（1）解得的结果可知：题中墙长a m对题目的解起着严格的限制作用． 当a＜15时，上述问题无解； 当15≤a＜20时，上述问题只有一个解，即可建宽为10 m，长为15 m的一种鸡场； 当a≥20时，上述问题有两个解． 设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 六、课堂小结 本节课我们主要复习了： 1．用公式法求解一元二次方程．