3.1 从算式到方程 学习任务单 2022-2023学年人教版数学七年级上册

从算式到方程 知识点一 方程的概念 定义：含有未知数的等式叫做方程，如：、、 等。 易错点：(1)判断一个式子是不是方程，一是看是否是等式，二是看是否含有未知数，二者缺一不可，如是等式，但不含未知数，不是方程；含未知数，但不含“=”号，也不是方程． (2)方程中的未知数可以是26个英文字母中的任意一个或多个，但通常使用等几个，如，，，等． (3)方程与等式的联系和区别是：一个等式如果含有未知数就变成了方程，如果不含未知数就不是方程．还可以这样说：方程一定是等式，但等式不一定是方程． 例1 指出下列各式中的方程 知识点二 一元一次方程及相关概念 定义：只含有一个未知数（元），且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程，如、等都是一元一次方程． 方程的解与解方程：使方程左、右两边相等的未知数的值叫方程的解，求方程解的过程叫解方程． 一元一次方程的条件是：①首先是一个方程．②其次是必须只含有一个未知数．③未知数的指数是1．④分母中不含有未知数．以上四个条件缺一不可． 拓展 (1)验证—个数是不是方程的解的方法是把这个数代入方程左右两边，分别求值，若左右两边的值相等，则说明这个数是方程的解，若左右两边不相等，则说明这个数不是方程的解． (2)若已知一个数是方程的解，则把解代入方程后，左右两边必定相等，常用于解以下问题：巳知的解是．求的值，方法是：把代入方程，得，所以，． 例2 已知方程①；；；； ；．其中是一元一次方程的个数是 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 例3 根据问题设未知数并列出方程． 一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？ 知识点三 等式及等式的性质 1．像，，，这样的式子，都是等式．我们可以用表示一般的等式． 2．等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． 如果，那么． 等式的性质2：等式的两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 如果，那么；如果，那么． 详解 (1)性质l中的“同一个”是指等式两边所加（或减）的数（或式子）必须相同．例如，对于等式，可以得到或，但不能得到或．也就是说等式两边加（或减）的是不同的数，则得到的式子就不是等式了． (2)性质2包括了两种情况，一是等式两边乘同一个数，结果仍相等．例如，对于等式，可以得到或．但是不能得到或；二是等式两边除以一个不为的数，结果仍相等．例如，对于等式，可以得到或，当时，亦可得到． (3)等式的性质1和性质2是等式变形的依据，例如，由，得，即．理由是根据性质1，在等式的两边减同一个数2，结果仍相等． 又如，由，得，即，理由是根据性质2，在等式的两边乘同一个数3，结果仍相等． 拓展 等式还具有另外两个常用的性质： 等式性质3：若，，则．此性质叫做等式的传递性（也称等量代换）． 等式性质4：若，则.此性质叫做等式的对称性． 例4 用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的． (1)如果，那么 ； (2)如果，那么 ； (3)如果，那么 ． 例5 利用等式的性质解下列方程 (1) (2) (3) 解题技巧 技巧l 运用定义巧解答 例6 填空 (1)已知关于的一元一次方程，求得 ． (2)已知方程是关于的一元一次方程，则的取值范围是 ． (3)若是关于的一元一次方程，则的值为 ( ) A． B． C． D． 技巧2 将“解”代回其乐无穷 例7 下列方程中，解是的是 ( ) A． B． C． D． 例8 若是方程的解，求字母的值． 例9 若，则多项式的值是多少？ 例10 已知是关于的方程的解，求关于的方程 的解． 算术解法PK方程解法 例1l 一艘轮船发生漏水事故，当时已漏进水桶，立即用两部抽水机向外抽水，甲每分钟能抽出桶，乙每分钟能抽出桶，经过分钟才把水抽完，求每分钟漏进来多少桶水． 例l2 某要塞有步兵人，每人一横排，各排相距米向前行走，每分钟走米，通过长米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？ 家庭作业： 1．填空：(l)由，得，这是根据等式的性质 在等式两边 ．(2)由，得，这是根据等式的性质 在等式的两边 ． 2．一个一元一次方程的解为3，请你写出这个方程