22.3实际问题与二次函数（3）学案 2023-2024学年人教版九年级数学上册

22.3实际问题与二次函数（3）——实物“抛物线”形问题 【学习目标】 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题． 【学习重难点】 用抛物线知识解决实际问题． 〖预习作业〗 学生自学课本P51，自学“探究3”，学会根据实际问题，建立适当的坐标系和二次函数关系，完成下列问题： 总结归纳：建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：①根据题意建立适当的 ；②把已知条件转化为点的 ；③合理设出函数 ；④利用待定系数法求出 ；⑤根据求得的关系式进一步分析、判断，并进行有关的计算． 1．一个运动员打高尔夫球，如果球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y＝(x－30)2＋10，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为(　　) A．10 m　 　B．20 m　　 C．30 m　 　D．40 m 2．某工厂大门是一个抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图所示，则厂门的高(水泥建筑物厚度不计，精确到0.1米)为(　　) A．6.8米 B．6.9米 C．7.0米 D．7.1米 教学过程 一．〖温故习新〗 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，而利用什么方法来求二次函数解析式从而解决这些问题，具有很现实的意义。 例如问题：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。 解决如上问题时，关键是要建立适当的平面直角坐标系，如图（2）所示,于是用抛物线知识就可以解决此类的实际问题了． 〖探索新知〗 例1.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图． (1)求演员弹跳离地面的最大高度； (2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 　用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系．抛物线的解析式设的恰当会给解决问题带来方便． 例2.小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加多少？ （评价标准：能积极的独立思考、能说出自己的观点+1 分，能总结出规律+2分） 二、【研讨·拓展】 例3.有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水面4 m. (1)如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式； (2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出用d表示h的函数解析式； (3)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少m时就会影响过往船只在桥下顺利航行． 　以桥面所在直线为x轴，以桥拱的对称轴所在直线为y轴建立坐标系．设抛物线的解析式为y＝ax2，然后点B的坐标为(10，－4)，即可求出解析式． 例4.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m加设不锈钢管如图所示的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据． (1)求该抛物线的解析式； (2)计算所需不锈钢管的总长度． 　本题可以通过建立不同的平面直角坐标系，求出不同的抛物线的解析式，但对计算总长度没有影响． （评价标准：能积极的独立思考、能说出自己的观点+1 分，能总结出规律+2分） 三、【反馈·提炼】 1.有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数解析式为 ． 2.隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y＝－x2＋2，一辆车高3 m，宽4 m，该车 (填“能”或“不能”)通过该隧道． 3.如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这是水面宽度为10m。 （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式。 (2)若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？ 四、【课堂小结】1.建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：①根据题意建立适当的平面直角坐标系；②把已知条件转化为点的坐标；③合理设出函数关系式；④利用待定系数法求出函数关系式；⑤根据求得的关系式进一步分析、判断，并进行有关的计算． 2.用抛物线知识解决实际问题时要注意自变量的取