1.1.1 空间向量及其线性运算 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

在前面我们通过“平面向量及其应用”的学习，知道了，平 面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之 间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算 而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法 解决在“立体几何初步”中，我们用综合几何法研究了空间 几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系.一个 自然的想法就是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利 用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空 间向量的运算解决立体几何问题。 第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算(1) 一空间向量及其线性运算 学习新课： 1.空间向量的概念及其表示： 与平面向量一样，在空间中，我们把具有大小和方向的 量叫做空间向量 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 空间向量用字母a,b,c.表示. 例如：空间向量a,起点是A,终点是B 空间向量也用有向线段 表示 有向线段的长度表示向量的模 则向量ā也可以记作视 与平面向量一样，规定，长度为0的向量叫做零向量 .记为0 模为的向量叫做单位向量 与向量ā长度相等而方向相反的 向量，叫做相反向量.记为-d 如果表示若千空间向量 的有向线段所在的直线 互相平行 或重合，那么这些向量 叫做共线向量或平行向量. 我们规定：零向量与任意向量平行.即0∥ 方向相同且模相等的向量叫做相等向量 2.空间向量的线性运算 空间向量是自由的，所以对于空间中任意两个 非零向量， 我们都可以通过平移使它们的起点重合 也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面面内. 如图，已知空间向量a,b 作向量0=ā，D8=b (①)a+b=0M+8=08 (2)a-万=b凶-0C= 3)当2>0时， a=òN=8 当2<0时， M a=0M= /a(2>0) d(2<0) N 与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以 下运算律 (其中2，u∈R) 交换律：a+b=b+a (2)结合律：a+)+c=a+6+c a(u)a=(xu)a (3)分配律：2+u)a=a+a a+6)=2a+入6 你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向 量的结合律有什么不同？ 探究1： 如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中， 分别标出视+汉+N讽++汉 表示的向量 从中你能体会向量加法运算的交换 律和结合律吗？ 一般地，三个不共面的向量和与这三个向量有什么关系？ 一般地，对于三个不共面的向量ā，b,c,以任意点O为起点， a,b,c为邻边作为平行六面体，则a,b,c的和等于以O为起 点的平行六面体对角线所表示的向量， 探究2： 对任意两个空间向量a与b,如果a=λb(2∈R),a与b有什么 位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a=λb? 类似于平面向量共线的 充要条件，对任意空间向量d,6≠可 a∥b的充要条件是存在实数，使a=入b 注意 ()此充要条件称为共线定理，它包含两个命题： ①a∥b,b≠0三存在实数2，使a=2b: ②存在实数元，使a=1b,b≠0三a∥b. (2)定理中的实数入是唯一的. (3)在此定理中，要特别注意b≠0，若不加b≠0，则充要 性不一定成立 (4)此定理可以用来证明两直线平行或三点共线 如图，O是直线1上一点，在直线1上取非零向量， 则对于直线上任意一点P, 由数乘的定义及向量共线的充要条件可知， 存在实数2，使得OR=1d 我们把与向量ā平行的非零向量 成为直线的方向向量 这样，直线1上任意一点都可以由直线上的一点和 它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一 点和它的方向向量确定 如图，如果表示向量a的有向线段 0风 a 所在的直线OA与直线平行或重合， 那么称向量a平行于直线1. a 如果直线OA平行于平面或 在平面a内， a 那么称向量a平行于平面. 平行于同一平面的向量，名叫做共面向量 我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向 量既可能是共面的，也可能是不共面的， 那么，什么情况下三个空间向量共面呢？ 探究3： 对于平面内任意两个向量ā，b,由平面向量基本定理可知， 这个平面内的任意一个向量可以写成=xa+yb,其中(x,y) 是唯一确定的有序实数对. 对两个不共线的空间向量ā，b,如果D=xa+yb, 那么p,与ā，b有什么位置关系？反过来，向量ā，b有什么位置 关系时，向量p=xa+yb? 可以发现，如果两个向量ā，b不共线，那么向量p与向量ā，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 p=xa+yb 此充要条件称为空间向 量共面定理 此定理可用来证明四点 共面或点线共面以及线面平行.