第01讲 3.1.1椭圆及其标准方程(12类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲 3.1.1椭圆及其标准方程 课程标准 学习目标 ①了解圆锥曲线的实际背景。 ②了解圆锥 曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ③掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程。 ④会根据相关的条件求椭圆的标准方程。 ⑤会求与椭圆有关的量。 1.通过本节课的学习，要求掌握椭圆的定义（相关的量的掌握）及椭圆的标准方程（满足的条件），会求与椭圆有关的几何量 知识点01：椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 【即学即练1】（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 【答案】A 【详解】因为，，所以， 所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆. 故选：A. 知识点02：椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 【即学即练2】（2023秋·广东广州·高二广州市第八十六中学校考期末）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】错解： ∵△ABC的周长为20，顶点， ∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12， ∵12＞8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a＝6，c＝4， ∴b2＝20， ∴椭圆的方程是 故选：D. 错因： 忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件. 正解： ∵△ABC的周长为20，顶点， ∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12， ∵12＞8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a＝6，c＝4， ∴b2＝20， ∴椭圆的方程是 故选：B. 特别说明： 1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑. 题型01椭圆的定义及辨析 【典例1】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）设满足：，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在 【答案】B 【详解】∵表示为到定点的距离之和为5，即， ∴点的轨迹为椭圆. 故选：B. 【典例2】．（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线 【答案】C 【详解】解：因为 （当且仅当 时，等号成立，所以， 当 且 时，，此时动点的轨迹是椭圆； 当 时，，此时动点 的轨迹是线段． 故选：C． 【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（    ）． A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 【答案】B 【详解】表示平面由点到点的距离之和为，而，所以点的轨迹是椭圆， 故选：B 【变式2】（2023秋·四川成都·高二统考期末）椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于 . 【答案】14 【详解】设左、右焦点为, 设， 由题得 因为，所以. 所以点P与另一个焦点的距离等于14. 故答案为：14 故选：B. 题型02利用椭圆定义求方程 【典例1】（2023·上海·高二专题练习）方程，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得点到定点，的距离之和等于12， 即， 所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为， 则，， 所以，， 故方程为. 【典例2】（2023秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期末）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 故选：D 【变式1】（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 【答案】 【详解】由题知：，① 又椭圆经过点， 所以，② 又，③ 联立解得：，