22.2二次函数与一元二次方程（1）学案 2023-2024学年人教版九年级数学上册

22.2二次函数与一元二次方程（1） 【学习目标】 1．知道二次函数与一元二次方程的关系． 2．会用根的判别式△判断二次函数y＝ax2＋bx＋c图像与x轴的公共点的个数 3．掌握方程与函数间的转化． 【学习重难点】 “三个二次”的关系及特殊值对图像的影响。 〖预习作业〗 学生自学课本第 P43-46页内容，并完成下列问题： 在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题： (1)每个图象与x轴有几个交点？ (2) 一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3) 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 教学过程 一．〖温故习新〗 1.填空：一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0），△＞0时，方程有_______________，△＝0时，方程有___________，△＜0时，方程_______________． 2．观察图象： （1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点， 则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0， 方程有 实数根； （1） 二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有________个 交点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝ _______0，方程有 实数根； （3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0，方程 实数根． 3．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程__________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值． 【归纳】（1）一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m；反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值． （2）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac． ①当△＝b2－4ac＞0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有 个交点； ②当△＝b2－4ac＝0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有 个交点； ③当△＝b2－4ac＜0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴 公共点． 〖探索新知〗 例1.二次函数的图象如图，试判断a、b、c和的符号。 解： 归纳： 系数的符号 图像特征 a的符号 a>0. 抛物线开口向 a<0 抛物线开口向 b的符号 b>0. 抛物线对称轴在y 轴的 侧 b=0 抛物线对称轴是 轴 b<0 抛物线对称轴在y 轴的 侧 c的符号 c>0. 抛物线与y轴交于 C=0 抛物线与y轴交于 c<0 抛物线与y轴交于 的符号 >0. 抛物线与x 轴有 个交点 =0 抛物线与x 轴有 个交点 <0 抛物线与x 轴有 个交点 练习：（1）二次函数的图象如图所示， 则直线的图象不经过第 象限。 （2）已知直线的图象经过第一、二、三象限， 那么的图象为（ ） A． B． C． D． 例2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 （1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________； （2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________； （3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________； （4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________； （5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________； （6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________． 练习：已知函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是（ ） A． 有两个不相等的正实数根；B．有两个异号实数根； C．有两个相等实数根； D．无实数根。 例3．已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是 。 变式：已知函数与