河南省商丘市等2地2023届高三三模数学（理）试题

2023届高三冲刺卷（三）全国卷 理科数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数纯虚数，则实数a的值为（ ） A. B. C. 4 D. 1 3. 已知，，若，则向量的夹角的余弦值为（ ） A B. C. D. 4. 某小学从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，且至少有1位语文教师入选，则不同安排方法有（ ）种． A. 16 B. 20 C. 96 D. 120 5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在处得到极大值 B. 在处得到极大值 C. 在处得到极小值 D. 在处得到极小值 6. 如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知展开式中的系数为，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 已知函数的定义域为R，，，当时，，则的值为（ ） A B. C. 1 D. 2 9. 函数的图象关于直线对称，则在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 设正方体的棱长为1，点E是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题： ①如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为； ②如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为； ③如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为； ④如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为． 其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知函数，若恒成立，则的最大值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 12. 已知抛物线的准线为，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，点P在l上的射影为，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 以PQ为直径的圆与准线l相切 C. 设，则 D. 过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 设函数________． 14. 我们通常称离心率为的双曲线为“黄金双曲线”，写出一个焦点在x轴上，对称中心为坐标原点的“黄金双曲线”C的标准方程________． 15. 在平面曲线中，曲率（curvature）是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，如图，圆、、在点Q处的弯曲程度依次增大，而直线在点Q处的弯曲程度最小，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，则余弦曲线在处的曲率为________；正弦曲线曲率K的平方的最大值为________． 16. 已知数列的前项和为，，，则数列的通项__________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17. 如图，四棱锥中，四边形为梯形，∥，，，，，M，N分别是PD，PB的中点． （1）求证：直线∥平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 某班从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理兴趣小组． （1）求数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的概率； （2）用X表示物理兴趣小组中的女生人数，求X的分布列与数学期望． 19. 在中，内角A，B，C对应的边分别为，，都是整数． （1）求； （2）若的中点为，求． 20. 如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由． 21. 已知函数，，． （1）讨论函数的单调性； （2）若，证明：对任意的，恒成立． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22