1.3.2 正方形的性质与判定（课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 第3节 正方形的性质与判定(二) 1．探索并证明正方形的判定，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . 3.探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别.（重点） 4.会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.（难点） 情境&导入 正方形的定义 正方形的性质 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 情境&导入 探究一 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 一组邻边相等 对角线互相垂直 正方形 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形. 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形. 探究二 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 正方形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 菱形 一个角是直角 对角线相等 正方形 定理：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA， 又∵∠A = 90° ， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 定理：对角线互相垂直的菱形是正方形. 例1.如图1-3-3，点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′，求证：四边形A′B′C′D′是正方形. 证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴ BC=CD=DA=AB，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 又∵ AA′=BB′=CC′=DD′，∴ D′A=A′B=B′C=C′D. ∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′(SAS). ∴ D′A′=A′B′=B′C′=C′D′，∠2=∠ 3. ∴四边形A′B′C′D′为菱形.∵∠1+∠2=90°， ∴∠1+∠3=90°.∴∠D′A′B′=180°－(∠1+∠ 3)=90°. ∴四边形A′B′C′D′为正方形. 例2.已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE， 求证：四边形 BECF 是正方形. 45° 45° 证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC=90°, ∠DCB=90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠DCB, ∴∠EBC=45°, ∠ECB=45°，∴ ∠EBC=∠ECB . ∴ EB=EC,∴□BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵∠EBC=45°,∠ECB=45°, ∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形. 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 如图，在△ABC 中，EF 为 △ABC 的中位线， ①若∠BEF=30°，则∠A =______. ②若 EF=8cm, 则 AC =______. 你还记得三角形的中位线定理吗？ 30° 16 cm 1.中点四边形概念 顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形. 如图1-3-4，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点， 则四边形EFGH 就是中点四边形. 如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？正方形的中点四边形会是什么形状？ 任意四边形的中点四边形是平行四边形. 三