1.3.1 正方形的性质与判定（课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 第3节 正方形的性质与判定(一) 1.掌握正方形的定义及性质 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别（重点） 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题（难点） 情境&导入 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 你还能举出其他的例子吗？ 图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 情境&导入 你能总结出正方形的定义吗？ 正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 平行四边形 一组邻边相等 一个角是直角 正方形 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的定义 A B C D 填一填： 角： 边： 对角线： 对称性： 四个角都是直角. 四条边相等. 对角线相等且互相垂直平分. a a a a 轴对称图形（4条对称轴）. 1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 定理 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等. 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 正方形的性质 定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 正方形 对角线 边 边 对角线 对角线 角 对边平行且相等 相互平分 相等 四个角相等都是90° 相互垂直且 平分对角 四边相等 对称性 轴对称图形（4条对称轴） 例1.如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF, 且 BE⊥DF. 理由如下： （1）∵四边形 ABCD 是正方形. ∴BC = DC,∠BCE = 90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵CE = CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF. (2)延长BE交DF于点M(如图)． ∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE＝∠CDF. ∵∠DCF＝90°， ∴∠CDF＋∠F＝90°. ∴∠CBE＋∠F＝90°. ∴∠BMF＝90°. ∴BE⊥DF. 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地示它们之间的关系吗？与同伴交流. 平行四边形 矩形 菱形 正方形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 例2.如图，在正方形ABCD中，E 为CD 上一点，F 为BC 延长线上一点，CE =CF. (1)求证：△BCE ≌△DCF； (2)若∠BEC =60°，求∠EFD 的度数. （1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴ BC=DC，∠BCE =∠DCF =90° . 又∵ CE=CF， ∴△BCE ≌△DCF. （2）解：∵△ BCE ≌△ DCF，∠ BEC=60°， ∴∠ DFC= ∠ BEC=60° . ∵ CE=CF，∠ ECF=90°， ∴∠ CFE=45° . ∴∠ EFD=∠ DFC- ∠ CFE=60°-45°=15°. 例3.如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形， 求证：∠EAD＝∠EDA＝15° . 证明：∵ ΔBEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE=∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°， ∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°. 练习&巩固 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等