1.2.2 矩形的性质与判定（课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 第2节 矩形的性质与判定(二) 1.掌握矩形的判定方法，理解矩形的性质与判定的区别与联系. 2.会初步运用矩形的性质、判定等知识，解决简单的证明和计算，进一步培养学生的分析能力 . 3.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理（重点）． 4.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题（难点）. 情境&导入 有一个角是直角的平行四边形. 矩形的定义： 平行四边形 矩形 有一个角是直角 性质 边 角 对角线 矩形 矩形的对边平行且相等. 矩形的两条对角线相等且互相平分. 矩形的四个角都是直角. 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？ 矩形是特殊的平行四边形. 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立. 如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. （1）随着∠α的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？ （2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形. 证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC=∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC+∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. A B C D 矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形ABCD中，∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B C D 例1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵AB∥CD且AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠BDC. ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BAC. ∴OA＝OB.∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形． 我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论， 并与同伴交流. 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 矩形的判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 例2.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形． 证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM， ∴∠CAD= ∠BAC，∠CAN＝ ∠CAM. ∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝ (∠BAC＋∠CAM) ＝ ×180°＝90° 在△ABC中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°. 又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°.∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)． 1.如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是平行四边形呢？ 用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形. 2.如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是菱形呢？ 拿绳子测量四边形的每一个边长，如果四边长度一样，那么根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形。 3.如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是矩形呢？ 先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形. 再用绳子测量对角线是否相等. 对角线相等的平行四边形是矩形. 例3.如图在□ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4. 求 □ ABCD 的面积. 解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA = OC,OB = OD. 又∵△ABO 是等边三角形， ∴OA = OB = AB = 4. ∴OA = OB = OC = OD = 4. ∴AC = BD = 2O