1.2.1 矩形的性质与判定（课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 第2节 矩形的性质与判定(一) 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系。 2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题（重点） 3.应用矩形的性质定理解决相关问题（难点） 情境&导入 观察下面图形,长方形在生活中无处不在. 情境&导入 下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？ 活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察. 矩形 不变： 变： 对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形. 角的大小. 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 也叫做长方形. 平行四边形不一定是矩形. 思考 （1）因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 可以从边，角，对角线等方面来考虑. 性质 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称图形 (2)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ (3)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流. D C B A 矩形是轴对称图形吗？如果是，那么有几条对称轴？ 轴对称图形 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB 相交于点O. 求证：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行)． ∴∠ABC＋∠BCD＝180°.又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°. ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC= 90°，对角线AC与DB相交于点 O。 求证：AC = BD. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC（矩形的对边相等）， 在△ABC 和 △DCB 中， ∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB. ∴△ABC ≌∠DCB.∴AC = DB. 矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有： 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线相等. 归纳总结 几何语言描述： 在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O. ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB. A B C D O 例1.如图1-2-1，在 ABCD 中，点E，F 为BC 边上的点， 且BE=CF，AF=DE. 求证： ABCD 是矩形. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB=CD，∠ B+ ∠ C = 180°. ∵ BE=CF， ∴ BE+EF=CF+EF， 即BF=CE. 又∵ AF=DE， ∴△ ABF ≌△ DCE(SSS). ∴∠ B= ∠ C=90°. ∴ ABCD 是矩形. 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。   （1）矩形是不是中心对称图形？ 如果是，那么对称中心是什么？ （2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ 矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。 矩形的对边平行且相等. 角 对角线 边 矩形的对角线相等. 矩形的对角线互相平分. 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角相等. 对称性 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形. 归纳总结 （1）矩形的两条对角线可以把矩形分成几个直角三角形？ （2）在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？ （3）你能发现它有什么特殊的性质吗？ （4）你能借助于矩形加以证明吗？ 定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC（矩形的对边相等）， ∴BE = DE = AE = CE, 在Rt△ABC 中， AC为斜边，BE 为斜边上中线， ∴BE = AC. 例2 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD（矩形的对角线相等） OA = OC = AC，OB = OD = BD， ∴OA = OD。 ∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA =∠OAD= (180°-120°)=30°。 ∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5. 练习&巩固 1.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( )