21.2.4一元二次方程根与系数关系课件2022-2023学年人教版九年级数学上册

《根与系数关系》 人教版 九年级上册 第7课时 第 21 章 一元二次方程 新课导入 1.一元二次方程的一般形式是什么? 3.一元二次方程的根的情况怎样确定? 2.一元二次方程的求根公式是什么? 新课导入 一元二次方程 x1 x2 x2-5x+6=0 x2+5x-6=0 x2-4x-12=0 x2-(a+b)x+ab=0 问题2:下列方程有根吗?用适当方法解下列方程,并把方程的根填入表中: 2 3 1 -6 6 -2 a b 新课导入 一元二次方程 x1 x2 x2-5x+6=0 2 3 x2+5x-6=0 1 -6 x2-4x-12=0 6 -2 x2-(a+b)x+ab=0 a b 思考:一元二次方程的根与系数之间的联系还有其他的表现形式吗? 探索新知 根据上面的解答,填写下面的表格: 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-5x+6=0 2 3 x2+5x-6=0 1 -6 x2-4x-12=0 6 -2 x2-(a+b)x+ab=0 a b 探索新知 根据上面的解答,填写下面的表格: 观察上面的表格,你能发现二次项系数为1的方程根与系数有什么密切联系吗? 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-5x+6=0 2 3 5 6 x2+5x-6=0 1 -6 -5 -6 x2-4x-12=0 6 -2 4 -12 x2-(a+b)x+ab=0 a b a+b ab 猜想:x2+px+q=0有 两个根是x1,x2 那么有x1+ x2=-p, x1 •x2=q 探索新知 由因式分解法可知方程(x-x1)(x-x2)=0的两根为x1、x2,将方程展开化为x2+px+q=0的形式,试着总结一下x1、x2与p、q的关系. (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1·x2=0, x2+px+q=0, 可以发现: 当方程的二次项系数为1时, x1+x2= -p , x1 ·x2=q. 探索新知 思考:一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中,二次根式系数a未必是1,那刚刚得到的结论是否适用于下列方程呢? 2.填表、观察、猜想 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 2x2-3x-2=0 5x2+6x+1=0 9x2-4=0 2 -1 -1 - 0 - - - - 探索新知 思考:一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中,二次根式系数a未必是1,那刚刚得到的结论是否适用于下列方程呢? 2.填表、观察、猜想 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 2x2+3x-5=0 5x2+6x+1=0 9x2-4=0 1 -1 - 0 - - - - b=0 探索新知 如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ,那么 猜想 你能证明这个命题吗? 探索新知 探索新知 提炼概念 一元二次方程的根与系数的关系 (韦达定理) 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2,那么两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数;两根之积等于常数项与二次项系数的比;即: 温馨提示:满足上述关系的前提条件: 1.将方程化为一般形式: ax2+bx+c=0(a≠0)2.b2-4ac≥0 例题讲解 例1.判断下列方程是否有根,如果有,求出方程的两根之和与两根之积(方程两根为x1,x2、k是常数) (1)2x2-3x-1=0 x1+x2 = _ x1x2= _ (2)x2+7x=-6 x1+x2= _ x1x2= _ (3)5x2+kx-6=0 x1+x2= _ x1x2= _ 注意:1、必须先求证Δ ≥0才可以使用韦达定理 2、先把方程化为一般式,才能使用韦达定理 -7 6 例题讲解 例2 已知方程x2+6x+3=0(a≠0)的两个根为x1、 x2,求 (1) x12+x22 的值; (2) + 的值 (3) (x1-x2)2 解:由根与系数的关系可知: x1+x2 = -6 , x1 · x2=3 (1) ∵(x1+x2)2=x12+2x1x2+x22 ∴ x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 =(-6)2-2×3 =30 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 例题讲解 总结归纳 步骤:1.根据方程的系数求出两根之和与两根之积; 2.把代数式化成只含两根之和与两根之积的形式; 3.代入数值进行计算. ★常见的求值: 变式训练 变式一:一元二次方程x2+px+q=0的两根分别是2022、-2,求p与q的值. 解:由根与系数的关系可知: x1+x2 = -p=2020 x1 · x2=q=-4044. ∴p = -2020 , q=4044 变式训练 易错点 变式二: 已知x1,x2是方程 x2 -2(k -