2.4一元二次方程根与系数的关系（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

2.4 一元二次方程根与系数的关系（重难点） 【知识点一、一元二次方程根与系数的关系】 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意： 它的使用条件是；，. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【知识点二、一元二次方程根与系数的关系的应用】 1、验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根； 2、已知方程的一个根，求方程的另一个根及未知系数； 3、不解方程，可以利用根与系数的关系求关于的对称式的值，此时，常常涉及代数式的一些重 要变形；如： （1）； （2）； （3）； （4）； 考点1 利用根与系数的关系求值（直接） 【例1】（2023春·浙江·八年级专题练习）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【变式1-1】（2023·四川达州·统考一模）已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（    ） A．－3 B．1 C．－3或1 D．－1或3 【变式1-2】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（　　） A．﹣402 B． C． D． 【变式1-3】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2023春·八年级单元测试）若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则的值是（ ）. A． B．－ C．－ D． 考点2 利用根与系数的关系求值（代换） 【例2】（2023春·八年级课时练习）已知方程的两根分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·上海·八年级假期作业）已知，且有及，则的值为（    ） A． B．2018 C．3 D． 【变式2-2】（2023·内蒙古通辽·校考三模）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式2-3】（2023春·全国·八年级专题练习）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．12 【变式2-4】（2023·安徽·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则 ． 考点3 利用根与系数的关系求值（降幂） 【例3】（2023·湖北省直辖县级单位·校联考一模）已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．-25 B．-24 C．35 D．36 【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（　　） A．2023 B．2027 C．2028 D．2029 【变式3-2】（2023春·八年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·河北·模拟预测）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．22 D．30 【变式3-4】（2023春·八年级课时练习）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 考点4 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 【例4】（2022·湖北武汉·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（    ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 【变式4-1】（2023·湖北武汉·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（  ） A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2 【变式4-2】（2023春·浙江·八年级期中）已知等腰三角形的三边长分别为，且a、b是关于的一元二次方程的两根，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【变式4-3】（2023春·浙江·八年级阶段练习）设关于的方程，有两个不相等的实数根，且，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2023·全国·九年级假期作业）关于的方程有实数根，方程的两根分别是、，且，则值是（    ） A． B． C． D． 考点5 构造一元二次方程求代数式的值 【例5】（2022春·广西贺州·八年级统考期中）若m，n满足，，且，则的值（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023·湖北武汉·统考一模）如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．16 B．15 C．12 D．9 【变式5-2】（2022秋·湖北武汉·九年级华中科