第一章三角形的证明等腰三角形教案2022-2023学年数学北师大版八年级下册 八年级下册

第一章 三角形的证明 1.1 等腰三角形 教学目标 1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力. 2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容. 3.能证明等腰三角形的性质定理， 4.经历探索等腰三角形判定定理的过程，证明并掌握等腰三角形的判定定理. 5.探索并证明等边三角形的性质定理及判定定理. 6.探索并证明定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 7.通过实例体会反证法的含义. 本节的主要研究对象是等腰三角形和等边三角形.教科书设计的流程大致是：明确作为本章证明基础的基本事实→证明等腰三角形、等边三角形的性质定理及判定定理→应用定理解决问题. 等腰三角形是一种常见的几何图形.学生在七年级曾经通过折纸等方法探索并发现了等腰三角形的性质，本节将对这些性质进行证明，同时还将探索并证明等腰三角形的判定定理.本节共4课时，前2课时主要研究等腰三角形的性质，后2课时主要研究等腰三角形的判定，第1课时引导学生从基本事实出发，用综合法证明等腰三角形的性质定理，进一步发展推理能力. 本节从回忆八年级上册“平行线的证明”一章给出的基本事实入手，一方面帮助学生回忆旧知识，另一方面引出本章证明的主要依据. 这8条基本事实如下： 1.两点确定一条直线.2.两点之间线段最短. 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）. 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 8.三边分别相等的两个三角形全等. 想一想 学生在七年级下册已经探索并认识了判定三角形全等的“角角边”定理，这里意在让学生根据基本事实证明这一定理.这一定理的证明并不复杂，教学时应鼓励学生独立完成.教师要提醒学生首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”“求证”，最后写出证明过程. 已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△ADEF. 证明：在△ABC和△DEF中， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°， ∴∠C=180°-（∠A+∠B）， ∠F=180°-（∠D+∠E）. ∵∠A=∠D，∠B=∠E， ∴∠C=∠F. 又BC=EF，∠B=∠E， ∴△ABC≌△DEF（ASA）. 七年级下册给出的“全等三角形”的定义是“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”，“全等三角形的对应边相等、对应角相等”则是由全等三角形的定义推出来的，本章很多证明都会用到它.因此，这里特别提出这一结论，以便后续证明使用. 议一议 学生在七年级下册已通过折叠等活动获得了等腰三角形的性质，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再思考哪些命题现在能够证明. 教学时教师要注意引导学生根据条件正确、规范地写出“已知”“求证”，有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性. 这里让学生回忆以前的折纸过程，目的是引导学生发现证明的思路.学生一般可以由折纸确定辅助线的位置，但对于作辅助线的规范叙述仍需教师帮助. 本章教科书中的证明过程没有详注理由，只注明了与本章研究内容相关的基本事实和本章出现的定理、推论.对此，教学时可根据学生的具体情况灵活处理. 教学中，应鼓励学生寻求其他证明方法.实际上，除作底边中线外，还可以通过作顶角平分线的方法证明结论，此时证明的依据是基本事实SAS.这两种证明方法都是受折纸的启发（轴对称），通过作辅助线将图形分成两部分，再证明这两部分全等.教师可以引导学生分析这两种证明方法的共性，加深对等腰三角形性质的认识. 教学时，可能会有学生通过作底边上的高线并利用勾股定理来证明这一定理.对此，教师一方面要保护学生的学习积极性；另一方面也要引导学生认识到：我们虽然在以前探索并认识了勾股定理，但尚未用基本事实证明过，所以从逻辑上来说，勾股定理不能作为这里证明的依据. 此外，不添加辅助线也能证明“等边对等角”.如教科书图1-1，在△ABC和 △ACB中， ∵AB=AC，∠A=∠A，AC=AB， ∴△ABC≌△ACB（SAS）. ∴∠B=∠C. 这一方法的技巧性较强，关键是把一个等腰三角形看成两个三角形。任何一个三角形都能与它本身重合，即一定有AB=AB，AC=AC，但只有等腰三角形将图形沿对称轴翻转，所得到的图形与原图形重合，即AB=AC，AC=AB.对于这一种方法教师可根据实际情况决定是否向学生介绍. 另外，应鼓励学生将自己的证明方法及自己对这种方法的理解与其他同学进行交流，从而使学生获得思维能力的提