专题2.6 圆的方程【七大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.6 圆的方程【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求圆的标准方程】 1 【题型2 求圆的一般方程】 2 【题型3 二元二次方程表示圆的条件】 3 【题型4 圆过定点问题】 3 【题型5 点与圆的位置关系】 4 【题型6 圆有关的轨迹问题】 5 【题型7 与圆有关的对称问题】 6 【知识点1 圆的方程】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【题型1 求圆的标准方程】 【例1】（2023·全国·高三专题练习）过，，三点的圆的一般方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023春·湖北襄阳·高二校考开学考试）过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋·河北石家庄·高二校考期末）已知圆的圆心为，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求圆的一般方程】 【例2】（2022秋·天津和平·高二校考阶段练习）已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022·全国·高二专题练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023春·天津武清·高二校考开学考试）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022秋·全国·高二专题练习）已知，则的外接圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【知识点2 二元二次方程与圆的方程】 1．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是 【题型3 二元二次方程表示圆的条件】 【例3】（2023春·广东湛江·高二统考期末）已知表示的曲线是圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023春·河南·高三阶段练习）“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（2022秋·河南新乡·高二统考期中）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．圆的右半部分 C．圆 D．圆的上半部分 【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【题型4 圆过定点问题】 【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2022·高二课时练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式4-2】（2023春·上海普陀·高二校考阶段练习）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 【变式4-3】（2022·全国·高二专题练习）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为 （其坐标与无关）. 【知识点3 点与圆的位置关系】 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点.