2.2.3 直线的一般式方程-2023-2024学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2.3　直线的一般式方程 【划重点】 1．掌握直线的一般式方程. 2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线. 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化． 【知识梳理】 知识点一　直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 知识点二　直线的五种形式的方程 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 知识点三　直线各种形式方程的互化 知识点四　一般式下直线的平行与垂直 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)， 则l1∥l2⇔ l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【例题详解】 一、直线的一般式方程 例1　由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是； (4)经过两点； (5)在x轴上的截距是，倾斜角是； (6)倾斜角为，与y轴的交点到x轴的距离是3． 跟踪训练1　根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式. （1）经过点，斜率是；     （2）经过点，平行于x轴； （3）经过点，；     （4）在x轴、y轴上的截距分别是，． 二、直线的一般式方程的应用 例2　设直线的方程为. （1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值； （2）若不经过第三象限，求的取值范围. 例3　直线的方程中的A，B，C满足什么条件时直线分别具有如下性质？ (1)过坐标原点； (2)与两条坐标轴都相交； (3)与x轴无交点； (4)与y轴无交点； (5)与x轴垂直； (6)与y轴垂直． 跟踪训练2　已知直线. (1)当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值： (2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围. 跟踪训练3　已知实数满足，则直线过定点 . 三、一般式下直线的平行与垂直的问题 例4　已知直线和直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 跟踪训练4　（多选）下列各直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5　判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【课堂巩固】 1．不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与平行，则系数（    ） A． B． C． D． 3．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．若直线与垂直，则m的值为（    ） A． B． C．5 D． 5．已知直线，的倾斜角分别为，，则（    ） A． B． C． D． 6．当点到直线的距离取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 7．直线经过的定点坐标是 ． 8．根据下列条件，求直线的一般方程． (1)过点，且与直线平行； (2)与直线垂直，且与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于4． 9．在①直线BC的斜率为；②直线AC的斜率为这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下面的问题． 已知以角A为顶角的等腰三角形ABC的顶点，______． (1)求直线AC的一般式方程； (2)求直线BC的一般式方程； (3)求角A的角平分线所在直线的一般式方程． 10．已知直线的方程为，求直线的一般式方程，满足： (1)过点，且与平行； (2)过点，且与垂直. 11．已知直线． （1）求证：无论为何值，直线总过第三象限； （2）取何值时，直线不过第二象限？ 12．在平面直角坐标系xOy中，设直线方程为. (1)求证：直线恒过一个定点，并求出定点的坐标； (2)若直线分别交轴正半轴、轴正半轴于A，B两点，表示的面积，求的最小值. 【课时作业】 1．已知直线，直线，且，则的值为（　　） A． B． C．-2或-1 D． 2．如果且，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．在中，已知点，，且边的中点M在轴上，边的中点N在轴上，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 5．直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，而且它的斜率是直线的