1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题课件（第2课时）-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时） 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1. 能用向量法得到直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角。 2.能利用直线的方向向量和平面的法向量求解空间夹角问题。 3.核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算 一、复习导入 两点间的距离 向量法求距离 =| | 点到直线的距离 == 两平行线之间的距离 == 点到平面的距离 |= | = 二、新课讲授 1、用空间向量研究夹角的问题 问题1：两条直线的夹角的定义是什么？ 平面内，两条直线， 相交向形成4个角，其中不大于90°的角称为两条直线与 成的角（或夹角）. 空间中，两条异面直线， ，经过空间任一点O分别做直线’ ∥ ， ’ ∥ ，我们把直线’与’所成的角叫做异面直线与 成的角（或夹角）. 从高维到低维 0°≤ θ ≤90° 问题2：两条直线的夹角θ与它们的方向向量的夹角有什么关系？ 设的方向向量为， 的方向向量为 θ=< , > 或θ=π < , > cosθ=|cos< , >| θ ∈[0°，90°] 问题3：如何用空间向量求直线与平面所成的角？ ⊂α ⟹ θ=0° ⊥α ⟹ θ=90° ∥α ⟹ θ=0° 是α的斜线 ⟹ 0°＜θ＜90° θ ∈[0°，90°] 6 问题4：直线与平面所成角θ和< , >有什么关系？ 设的方向向量为， 平面α的法向量为 θ+< , >= 或θ+ = < , > sinθ=|cos< , >| θ ∈[0°，90°] 问题5：如何用空间向量求平面与平面所成的角？ 空间中，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角成为平面α与平面β的夹角。 所以，两个平面夹角θ 的取值范围为： θ ∈[0°，90°] 追问1：二面角的平面角是如何定义的？ 在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，在半平面α和β内在点 O 处分别作垂直于棱的射线OA、OB， 则射线OA、OB组成的∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. 所以，二面角的取值范围为： [0°，180°] 故，两平面的夹角等于相应的二面角或其补角 追问2：平面与平面所成的角如何转化为向量问题？ 求平面α，β的夹角 求直线OB，OA的夹角 求方向向量的夹角 求得向量的夹角 求得平面α，β的夹角 转化为求两平面内与交线垂直的直线的方向向量的夹角 思路1 追问3：两个平面的夹角θ与这两个平面的法向量的夹角有什么关系？ 设平面α的法向量为， 平面β的法向量为 θ=<,> 或θ= π- <,> cosθ=|cos<,>| θ ∈[0°，90°] 求平面α，β的夹角 求法向量 的夹角 求得向量的夹角 求得平面α，β的夹角 转化为求两平面的法向量的夹角 思路2 一般性、适用性 例7 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N为线段BC，AD的中点，求直线AM和CN的夹角的余弦值. 三、巩固新知 分析： 1、向量法：选择空间中的一个基底 2、坐标法：建立空间直角坐标系 {, , } 基底不唯一 取BD的中点O，过O作OE⊥平面BCD，以O为原点，OC，OD，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 建系不唯一 以{, , }作为基底，则 解法一：向量法 ， ) 设向量与的夹角为θ 则直线AM与CN夹角的余弦值等于|cosθ|. 所以•= ) • )]= = 又因为△ABC和△ACD均为等边三角形，所以| |=| |= . 所以cosθ= = = . 所以直线AM与CN夹角的余弦值为 小结：用向量法解决夹角的“三步曲” 1、将几何问题转化为向量问题：转化为两直线方向向量和的夹角。 2、进行向量运算：用公式计算cos< , >= 的值 3、回到图形问题：两条直线夹角的余弦值为cosθ=|cos< , >| 变式训练：求直线CN与平面BCD所成角的正弦值. 分析：需求出平面BCD的法向量 1、向量法：选择空间中的一个基底 2、坐标法：建立空间直角坐标系 解：取BD的中点O，过O作OE⊥平面BCD，以O为原点，OC，OD，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则有 解法一：坐标法 C( ,0,0)，D(0, , ), A( ,0, ),N( ,0, ) 所以=(- , , ）. 设平面α的法向量为， =（0,0,1） 设直线CN与平面BCD所成角为θ， 则sinθ=|cos<,>| 因为cos<,>= = =. 所以直线CN与平面BCD所成角的正弦值为 小结：用向量法解决夹角的“三步曲” 1、将几何问题转化为向量问题：转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角。 2、进行向量运算：用公式计算cos< ,