2024届重庆市巴南区高三上学期诊断考试（一）一模数学试题

高2024届高考诊断考试（一）数学试题 （试卷满分：150分 120分钟完卷） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2.已知复数，则（    ） A. B. C. D. 3.已知，则（    ） A. B. C. D. 4.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1～9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（    ）    A. B. C. D. 5.若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（    ） A. B. C.2 D.3 6.如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（    ）      A. B.3 C. D.48 7.椭圆的左右焦点为，，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足，，若四边形的周长等于，则椭圆C的离心率为（    ） A. B. C. D. 8.已知偶函数满足，，且当时，.若关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9.已知函数，则（    ） A. B.的最小正周期为 C.在上单调递减 D.在上单调递增 10.某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表： 学校 人数 平均运动时间 方差 甲校 2000 10 3 乙校 3000 8 2 记这两个学校学生一周运动的总平均时间为，方差为，则（    ） A. B. C. D. 11.如图，平行六面体中，，，与交于点O，则下列说法正确的有（    ）    A.平面平面 B.若，则平行六面体的体积 C. D.若，则 12.已知函数，下列选项正确的是（    ） A.有最大值 B. C.若时，恒成立，则 D.设为两个不相等的正数，且，则 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13.展开式中的各二项式系数之和为256，则的系数是 14.现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为 . 15.已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为 . 16.已知抛物线上存在两点（异于坐标原点），使得，直线AB与x轴交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转与该抛物线交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最小值为 . 四、解答题（共6小题，共70分） 17.（10分）在中，角所对的边分别为，. (1)求角； (2)若的面积为，且，求的周长. 18.（12分）已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和. 19.（12分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） (2)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③. 20.（12分）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面.    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 21.（12分）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接.若直线的斜率与直