1.3 正方形的性质与判定（分层练习，十大题型）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

1.3 正方形的性质与判定 分层练习 考查题型一 根据正方形的性质求角度1．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 ． 2．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，则∠DAE的度数为 ． 3．如图，在正方形外作等边，则 ． 4．如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则 ． 考查题型二 根据正方形的性质求线段长 1．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为 ． 2．如图，四边形是正方形，P在上，旋转后能够与重合，若，则 ． 3．如图，正方形的对角线交于点，点是直线上一动点．若，则的最小值是 ． 4．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为 ．    考查题型三 根据正方形的性质求面积 1．若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为 ． 2．如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ． 3．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 . 4．如图，直线过正方形的顶点，点到直线的距离分别是和，且满足：，则正方形的面积是 ． 考查题型四 与正方形有关的折叠问题 1．如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为 ． 2．如图，正方形的边长为4，，，分别是边，，上的一点，将正方形沿折叠，使点恰好落在边的中点处，点的对应点为点，则折痕的长为 ． 3．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E，F分别是边AD，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点A′处，此时点B落在点B′处．已知折痕EF=13，则AE的长等于 ． 考查题型五 添加一个条件使四边形是正方形 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，添加一个条件 ，使菱形是正方形． 2．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，请添加一个条件 （只需添加一个即可），使矩形ABCD是正方形． 3．如图，四边形中，对角线，相交于点，AD//BC，，平分．欲使四边形是正方形，则还需添加 （写出一个合适的条件即可） 4．如图，在中，，点分别是边的中点，延长到点，使，得四边形.若使四边形是正方形，则应在中再添加一个条件为__________. 考查题型六 证明四边形是正方形 1．如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，且，与相交于点G．求证：矩形为正方形； 2．如图：已知：是的角平分线，交于，交于． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 3．已知，如图，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE＝AH，在CD边上取点G，使得CG＝CF．联结EF、FG、CH、HE． (1)求证：四边形EFGH是矩形． (2)若∠B＝45度，求证:四边形EFGH是正方形． 考查题型七 根据正方形的性质与判定求角度 1．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 2．如图，平行于正方形的对角线，点在上，且，，求的度数. 3．综合与实践 问题情境：如图1，在正方形中，点是对角线上的一点，点在的延长线上，且，交于点．问题解决： （1）求证：； （2）求的度数； 探索发现： （3）如图2，若点在边上，且，求的度数． 考查题型八 根据正方形的性质与判定求线段长 1．如图，正方形ABCD的边长为6， 点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F， 连接EF与边CD相交于点G、与对角线BD相交于点H． (1)若BD＝BF，求BE的长； (2)若∠2＝2∠1，求证：HF＝HE＋HD． 2．如图1，中，，，的外角平分线交于点A，过点A分别作的延长线于B，的延长线于D． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长； (3)如图2，在中，，高，，求的长度． 3．如图，在四边形纸片 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，将 AB，AD 分别沿 AE，AF 折叠，点 B，D 恰好都和点 G 重合，∠EAF＝45°． （1）求证：四边形 ABCD 是正方形； （2）若 EC＝FC＝1，求 AB 的长度． 考查题型九 根据正方形的性质与判定求面积 1．如图，在中，，，的角